在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，若AD与平面AA₁C₁C所成的角为α，则sinα=

19．解：（1）连接B₁D₁，ABCD―A₁B₁C₁D₁为四棱柱，

，

则在四边形BB₁D₁D中（如图），

得△D₁O₁B₁≌△B₁BO，可得∠D₁O₁B₁=∠OBB₁=90°，

即D₁O₁⊥B₁O

   （2）解法一：连接OD₁，△AB₁C，△AD₁C均为等腰

三角形，

且AB₁=CB_1­，AD₁=CD₁，所有OD₁⊥AC，B₁O⊥AC，

显然：∠D₁OB₁为所求二面角D₁―AC―B₁的平面角，

由：OD₁=OB₁=B₁D=2知

解法二：由ABCD―A₁B₁C₁D₁为四棱柱，得面BB₁D₁D⊥面ABCD

所以O₁D₁在平面ABCD上的射影为BD，由四边形ABCD为正方形，AC⊥BD，由三垂线定理知，O₁D₁⊥AC。可得D₁O₁⊥平面AB₁C。

又因为B₁O⊥AC，所以∠D₁OB₁所求二面角D₁―AC―B₁的平面角，

20．解：（1）曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线的距离小1，

可得|MF|等于M到y=-1的距离，由抛物线的定义知，M点的轨迹为

   （2）当直线的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，

    当直线m与x轴不垂直时，设直线m的方程为

   代入    ①

    恒成立，

    设交点A，B的坐标分别为

∴直线m与曲线C恒有两个不同交点。

则    ②        ③

故直线m的方程为

21．解：（1）由已知得

   （2）

   （3）