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    已知椭圆Γ的中心在原点.焦点在x轴上.它的一个顶点B恰好是抛物线y=x2的焦点.离心率等于.直线与椭圆Γ交于两点.(Ⅰ)求椭圆Γ的方程, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本题满分12分）

        已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

     

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    （本题满分12分）
    已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
    （1）求椭圆的标准方程；
    （2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

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    （本题满分12分）

    已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且，点）在椭圆上.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）过的直线与椭圆相交于、两点，且△的面积，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.

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    （本题满分12分）

    已知椭圆的焦点在轴上，中心在原点，离心率，直线和以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆相切．

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为、，点是椭圆上异于、的任意一点，设直线、的斜率分别为、，证明为定值；

    （Ⅲ）设椭圆方程，、为长轴两个端点， 为椭圆上异于、的点， 、分别为直线、的斜率，利用上面（Ⅱ）的结论得（        ）（只需直接写出结果即可，不必写出推理过程）．

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    （本题满分12分）已知椭圆E：（其中），直  线L与椭圆只有一个公共点T；两条平行于y轴的直线分别过椭圆的左、右焦点F1、F2，且直线L分别相交于A、B两点．

    （Ⅰ）若直线L在轴上的截距为，求证： 直线L斜率的绝对值与椭圆E的离心率相等；（Ⅱ）若的最大值为1200，求椭圆E的方程．

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    一.选择题

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    答案

    C

    C

    A

    A

    B

    D

    A

    D

    D

    A

    B

    A

    二.填空题

       13. .;       14. ;      15. 15;         16. ,可以填写任意实数

    三、解答题

    17．（Ⅰ）

    (Ⅱ)

    由得,从而,即 .所以,函数与轴交点的横坐标为.           12分

    18.由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20．

    （I）该班学生参加活动的人均次数为=．     3分

    （II）从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．                                               6分

    （III）从该班中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知

    ；                     8分

    .                                     10分

    的分布列：

    0

    1

    2

    的数学期望：．                            12分

    19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中点，

    ∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，

    易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC    

    又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，

    ∴BE⊥面D′EC，又CD′面D′EC，∴BE⊥CD′ 6分

    （Ⅱ）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC

    垂足为F，连接D′M，D′F，则D′M⊥EC

    ∵平面D′EC⊥平面BEC，∴D′M⊥平面EBC，

    ∴MF是D′F在平面BEC上的射影，

    由三垂线定理得：D′F⊥BC，∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.

    在Rt△D′MF中，。∴，

    即二面角D′―BC―E的正切值为.                         12分

    法二：如图，以EB，EC为x轴，y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系，则

    设平面BEC的法向量为；平面D′BC的法向量为

    由.取 

    ∴。 

    ∴二面角D′―BC―E的的正切值为.

    20. (Ⅰ）设C方程为，则b = 1.

    ∴椭圆C的方程为  …………………………………………………6分

    （Ⅱ）假设存在直线,使得点是的垂心.易知直线的斜率为，从而直线的斜率为1.设直线的方程为，代如椭圆的方程，并整理可得.设，则，.于是

    解之得或.

    当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意.当时，经检验知和椭圆相交，符合题意.  所以，当且仅当直线的方程为时, 点是的垂心.        12分

    21. （Ⅰ）注意到当时, 直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论.

    (1) 当a>0时，函数y=, 的图象是开口向上的抛物线的一段，

    由<0知在上单调递增，∴.

    (2)当a=0时，, ,∴.      3分

    (3)当a<0时,函数y=, 的图象是开口向下的抛物线的一段，

    若，即则                4分

    若，即,则       5分

    若，即,则.              6分

    综上有                                7分

    （Ⅱ）当时，，所以， g(a)在上单调递增，于是由g(a)的不减性知等价于或

    解之得或.所以，的取值范围为.               12分

    22.(Ⅰ)对一切有，即  ,      ()                            4分

    由及两式相减,得:

     

           

           ∴是等差数列,且, .                                    8分

    说明:本小题也可以运用先猜后证(数学归纳法)的方法求解.给分时,猜想正确得3分,证明给5分.

    (Ⅱ) 由,知,因此,只需证明.                                              10分

    当或时,结论显然成立.当时,

       

    所以,原不等式成立.                                                          14分

     

     


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