（必做题）先阅读：如图，设梯形ABCD的上、下底边的长分别是a，b（a＜b），高为h，求梯形的面积．
方法一：延长DA、CB交于点O，过点O作CD的垂线分别交AB、CD于E、F，则EF=h．
设OE=x，∵△OAB∽△ODC，∴

x

x+h

=

a

b

，即x=

ah

b-a

．
∴S_梯形ABCD=S_△ODC-S_△OAB=

1

2

b（x+h）-

1

2

ax=

1

2

（b-a）x+

1

2

bh=

1

2

（a+b）h．
方法二：作AB的平行线MN分别交AD、BC于MN，过点A作BC的平行线AQ分别于MN、DC于PQ，则△AMP∽△ADQ．
设梯形AMNB的高为x，MN=y，

x

h

=

y-a

b-a

⇒y=a+

b-a

h

x，∴S梯形ABCD=

∫

h 0

（a+

b-a

h

x）dx=（ax+

b-a

2h

x²）

|

h 0

=ah+

b-a

2h

•h²=

1

2

（a+b）h．
再解下面的问题：
已知四棱台ABCD-A′B′C′D′的上、下底面的面积分别是S₁，S₂（S₁＜S₂），棱台的高为h，类比以上两种方法，分别求出棱台的体积（棱锥的体积=

1

3

×底面积×高）．

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小明做了两道题，事件A为“做对第一个”，事件B为“做对第二个”，其中“做对第一个”与“做对第二个”的概率都是，下列说法正确的是（　　）

    A．小明做对其中一个的概率为

    B．事件A与事件B为互斥事件

    C．A∩B={两个题都做对}

    D．事件A与事件B必然要发生一个

     

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一、选择题：C D C C     A D B B

1．C【解析】，而，即，

2．D【解析】，，故

3．C【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为

4．C  5．A

6．D【解析】不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而上述叙述中只有 _为真命题

7．B【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时，显然有，此时，由我们马上就能得到参数的范围为_。

8．B      

二、填空题：

9．【解析】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍数12，即此时有。

10．【解析】按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1。

11．【解析】易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为。

12．【解析】，故函数的最小正周期。

二、选做题（13―15题，考生只能从中选做两题）

13．【解析】由解得，即两曲线的交点为。

14．

15．【解析】依题意，我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．解：（1）依题意有，则，将点代入得，而，，，故；

（2）依题意有，而，

，

。

17．解：（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；，

，

故的分布列为：

6

2

1

-2

0.63

0.25

0.1

0.02

（2）

（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为

依题意，，即，解得

所以三等品率最多为

18．解：（1）由得，

当得，G点的坐标为，

， ，

过点G的切线方程为即，

令得，点的坐标为，

由椭圆方程得点的坐标为，即，

即椭圆和抛物线的方程分别为和；

（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,

以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个。

若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，

。

关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，

因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。

19．解： _，

对于，

当时，函数在上是增函数；

当时，函数在上是减函数，在上是增函数；

对于，

当时，函数在上是减函数；

当时，函数在上是减函数，在上是增函数。

20．解：（1）在中，

，

而PD垂直底面ABCD，

,

在中，,即为以为直角的直角三角形。

设点到面的距离为,

由有,

即 ，

;

(2),而,

即,，,是直角三角形；

（3）时,,

即,

的面积

21．解：（1）由求根公式，不妨设，得

，

（2）设，则，由

得，，消去，得，是方程的根，

由题意可知，

①当时，此时方程组的解记为

即、分别是公比为、的等比数列，

由等比数列性质可得,,

两式相减，得

，，

，

，即，

②当时，即方程有重根，，

即，得，不妨设，由①可知

，，

即，等式两边同时除以，得，即

数列是以1为公差的等差数列，

综上所述，

（3）把，代入，得，解得