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    已知椭圆Γ的中心在原点.焦点在x轴上.它的一个顶点B的坐标为.离心率等于.直线与椭圆Γ交于两点.(Ⅰ)求椭圆Γ的方程, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本题满分12分）

        已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

     

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    （本题满分12分）
    已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
    （1）求椭圆的标准方程；
    （2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

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    （本题满分12分）

    已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且，点）在椭圆上.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）过的直线与椭圆相交于、两点，且△的面积，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.

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    （本题满分12分）

    已知椭圆的焦点在轴上，中心在原点，离心率，直线和以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆相切．

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为、，点是椭圆上异于、的任意一点，设直线、的斜率分别为、，证明为定值；

    （Ⅲ）设椭圆方程，、为长轴两个端点， 为椭圆上异于、的点， 、分别为直线、的斜率，利用上面（Ⅱ）的结论得（        ）（只需直接写出结果即可，不必写出推理过程）．

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    （本题满分12分）已知椭圆E：（其中），直  线L与椭圆只有一个公共点T；两条平行于y轴的直线分别过椭圆的左、右焦点F1、F2，且直线L分别相交于A、B两点．

    （Ⅰ）若直线L在轴上的截距为，求证： 直线L斜率的绝对值与椭圆E的离心率相等；（Ⅱ）若的最大值为1200，求椭圆E的方程．

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    一.选择题

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    答案

    D

    C

    B

    A

    C

    D

    D

    D

    A

    B

    A

    A

    二.填空题

       13.4；        14. ；       15.15；     16.,可以填写任一实数.

    三.解答题

    17. （Ⅰ）列表：

    2

    6

    10

    14

    0

    1

    3

    1

    1

    描点作图，得图象如下.

    6分

    （Ⅱ）

    所以,当,即时,函数取得最小值.     12分

    18.由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20．

    （I）该班学生参加活动的人均次数为=．    6分

    （II）从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．                                              12分

    19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中点，

    ∴△BAE，△CDDE是等腰直角三角形，

    易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC    

    又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，

    ∴BE⊥面D′EC，又CD′面D′EC，∴BE⊥CD′.                  6分

    （Ⅱ）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC

    垂足为F，连接D′M，D′F，则D′M⊥EC

    ∵平面D′EC⊥平面BEC，

    ∴D′M⊥平面EBC，

    ∴MF是D′F在平面BEC上的射影，

    由三垂线定理得：D′F⊥BC

    ∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.

    在Rt△D′MF中，

    ∴，

    即二面角D′―BC―E的正切值为.                              12分

    法二：如图，以EB，EC为x轴，y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系，

    则

    设平面BEC的法向量为；平面D′BC的法向量为

    由

    取

    ∴

    ∴二面角D′―BC―E的正切值为.                                 12分

    20．（I），

       （II）由（I）知

       

    21（Ⅰ）设椭圆C的方程为，则由题意知b = 1.

    ∴椭圆C的方程为  …………………………………………………6分

    （Ⅱ）易知直线的斜率为，从而直线的斜率为1.设直线的方程为，代如椭圆的方程，并整理可得.设，则，.于是

    解之得或.

    当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意.当时，经检验知和椭圆相交，符合题意.

    所以，当且仅当直线的方程为时, 点是的垂心.        12分

    22.(Ⅰ)对一切有

    于是,                            

             ()   5分

    (Ⅱ)由及

    两式相减,得:

      

            

           ∴.                                10分

    (Ⅲ) 由于，        

    所以，   14分

     

     


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