（2013•南京二模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=4，CB=4，CC₁=2

2

，∠ACB=90°，点M在线段A₁B₁上．
（1）若A₁M=3MB₁，求异面直线AM与A₁C所成角的余弦值；
（2）若直线AM与平面ABC₁所成角为30°，试确定点M的位置．

（2009•荆州模拟）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=1，点D是A₁C的中点．
（1）求证：平面BDB₁⊥平面AB₁C；
（2）求二面角C-AB₁-B的大小的正切值．

（2012•黄州区模拟）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）试问线段A₁B₁上是否存在点E，使AE与DC₁成60°角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由．

（理科）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，CC₁＞AC，∠ACB=90°，异面直线AC₁与BA₁所成角的大小为arccos

30

10

．
（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）设D为线段A₁B₁的中点，求二面角A-C₁D-A₁的大小．（结果用反三角函数表示）