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    当时取得极大值.且函数的图象关于点对称. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

    （Ⅰ）求实数的值； 

    （Ⅱ）求在区间上的最大值；

    （Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

    【解析】第一问当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    第二问当时，，令得，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值

    第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    （Ⅰ）当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    ①当时，，令得

    当变化时，的变化情况如下表：

    0

    —

    0

    +

    0

    —

    单调递减

    极小值

    单调递增

    极大值

    单调递减

    又，，。∴在上的最大值为2.

    ②当时, .当时, ,最大值为0；

    当时, 在上单调递增。∴在最大值为。

    综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

    当时，即时，在区间上的最大值为。

    （Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    若，则代入（*）式得：

    即，而此方程无解，因此。此时，

    代入（*）式得：    即   （**）

    令 ，则

    ∴在上单调递增，  ∵     ∴,∴的取值范围是。

    ∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

    因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

     

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    设定义在R的函数，R. 当时，取得极大值，且函数的图象关于点对称.

     （I）求函数的表达式；

     （II）判断函数的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标在区间上，并说明理由；

     （III）设，（），求证：.

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    设定义在R的函数，R. 当时，取得极大值，且函数的图象关于点对称.
    （I）求函数的表达式；
    （II）判断函数的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标在区间上，并说明理由；
     （III）设，（），求证：.

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    设定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx，当时，f（x）取得极大值，并且函数y=f'（x）的图象关于y轴对称．
    （1）求f（x）的表达式；
    （2）若曲线C对应的解析式为，求曲线C过点P（2，4）的切线方程；
    （3）（实）过点可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

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    设定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx，当x=-时，f（x）取得极大值，并且函数y=f′（x）的图象关于y轴对称．
    （Ⅰ）求f（x）的表达式；
    （Ⅱ）若曲线C对应的解析式为，求曲线过点P（2，4）的切线方程．

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    一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个符合题目要求的）

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    答案

    B

    D

    C

    C

    A

    C

    C

    A

    二、填空题（本大题共有6个小题，每小题5分，共30分；请把答案填在相应的位置）

    题号

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    答案

     

    8,70

    三、解答题

    15．（本题满分13分）

    解：（1）

           

    （2）

            

    当时，此时，为直角三角形；

    当时，为直角三角形。

    16. （本题满分13分）

    解：（1）向上的点数互不相同的概率为

    （2）向上的点数之和为6的结果有

    共10中情况，

    所以

    （3）因为每次抛掷骰子，向上的点数为奇数的概率为

    所以根据独立重复试验概率公式得

    17．（本题满分13分）

        解：解答一：（1）在菱形中，连接则是等边三角形。

                      

    （2）

                      

                      

                  （3）取中点，连结

                      

         解法二：（1）同解法一；

                （2）过点作平行线交于,以点为坐标原点,建立如图的坐标系

                                   

                       二面角的大小为

         （3）由已知，可得点

             

              即异面直线所成角的余弦值为

    18．（本题满分13分）

    解：（1）将函数的图象向右平移一个单位，得到函数的图象，

            函数的图象关于点（0，0）对称，即函数是奇函数，

           

           

            由题意得：

            所以

       （2）由（1）可得

            故设所求两点为

           

            满足条件的两点的坐标为：

    19. （本题满分14分）

    解：（1）由，

    设

    则

    由知，抛物线C在点N处是切线的斜率

    因此，抛物线C在点N处的切线与直线AB平行。

    （2）假设存在实数，使得，则

    由M是线段AB的中点。

    由轴，知

     

     

    解得（舍去）

    存在实数，使得

    20. （本题满分14分）

       解：（1）由题意得

          

    （2）正整数的前项和

    解之得

    当时，

    以上各式累加，得

    （3）在（1）和（2）的条件下，

    当时，设，由是数列的前项和

    综上

    因为恒成立，所以小于的最小值，显然的最小值在时取得，即

    满足的条件是

    解得

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     


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