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初三(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料,将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大.

小组讨论后,同学们做了以下三种试验:                  

 

图案(1)            图案(2)              图案(3)          

请根据以上图案回答下列问题:

(1)在图案(1)中,如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6米,当AB为1米,

长方形框架ABCD的面积是           m²;

(2)在图案(2)中,如果铝合金材料总长度为6米,设AB为米,长方形框架ABCD的面积为Ｓ＝       (用含的代数式表示)；当AB＝         时米, 长方形框架ABCD的面积Ｓ最大;

在图案(3)中,如果铝合金材料总长度为米, 设AB为米,当AB是多少米时, 长方形框架ABCD的面积Ｓ最大.

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初三(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料,将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大.

小组讨论后,同学们做了以下三种试验:                  

 

图案(1)            图案(2)              图案(3)          

请根据以上图案回答下列问题:

(1)在图案(1)中,如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6米,当AB为1米,

长方形框架ABCD的面积是           m²;

(2)在图案(2)中,如果铝合金材料总长度为6米,设AB为米,长方形框架ABCD的面积为Ｓ＝       (用含的代数式表示)；当AB＝         时米, 长方形框架ABCD的面积Ｓ最大;

在图案(3)中,如果铝合金材料总长度为米, 设AB为米,当AB是多少米时, 长方形框架ABCD的面积Ｓ最大.

             

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用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图①②③中的一种)

设竖档AB＝x米，请根据以上图案回答下列问题：(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行)

(1)在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？

(2)在图②中，如果不诱钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？

(3)在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？

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说明:对于解题过程中有的题目可用多种解法(或多种证明方法),如果考生的解答与参考答案不同,请参照此评分标准酌情给分.

一. 选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

B

B

D

B

A

D

C

C

评分标准

选对一题给4分，不选，多选，错选均不给分

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11．X≠6 ；      12． 2；　　　　13．８；           14．  65°；　　　

15．96 ；        16． （0，0），（0，），（0，-3）写对一个给3分，两个4分，三个给5分

三、解答题（本题有8小题，共80分）

17. （本题8分）

(1)解：原式＝1＋3－                                     　    …………（3分）

＝                                                　 …………（1分）

(2)解：愿方程可化为：x＝3(x－2 )                            　    …………（2分）

                    x＝3                                  　   …………（1分）

经检验 ：x＝3 是原方程的解．                            　 …………（1分）

18．（本题8分）

添加条件例举：AD＝BC；OC＝OD；∠C＝∠D；∠CAO＝∠DBC等.    　……（2分）

证明例举（以添加条件AD＝BC为例）：

∵ AB=AB，∠1＝∠2，BC＝AD，                   　   　　…………（2分）

∴ △ABC≌△BAD．                                 　      …………（2分）

        ∴ AC=BD．                                        　      …………（2分）

19．（本题8分）

（１）；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………（３分）

 （２）列对表格或画对树状图；　　　　　　　　　　　　　　　　　…………（３分）

　　　两次都取到欢欢的概率为．　　　　　　　　　　　　　　　　…………（２分）

20．（本题8分）

答案不唯一．只要符合要求，画对一个给４分，画对两个给８分．　　　　　　　　……（８分）

21．（本题8分）

（１）∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=Rt∠．∴sin∠BAC=．   　 ………（3分）

（２）∵OE⊥AC,O是⊙O的圆心, ∴E是AC中点．∴OE＝BC=．   　  …（3分）

（３）∵AC＝=4， ∴tan∠ADC= tan∠ABC=．       　  ……（2分）

22．（本题10分）

（１） 25 ；                                               　 ……………（2分）

（２） 50；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　         　……………（2分）

　　　画对条形统计图　　　　　　　　　　　　　　　          　……………（2分）

（３）５人；（列对方程得２分，给出答案给２分）　　　　     　 ……………（４分）

23．（本题12分）

（1）；                                               　  ………………（2分）

 （2）－x²＋２x  ，１， ； （每格2分）                　     ……………（６分）

（3）设AB长为m，那么AD为

     S=?=－．　　　　　　　　　　    　    ……………（2分）

　　当＝时，Ｓ最大．　　　　　　　　　　　　　   　    ……………（2分）

24．（本题1４分）

（1）直线AB解析式为：y=x+．                      　     ……………（3分）

（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x，x+），那么OD＝x，CD＝x+．　　

∴＝＝．           　  ………（2分）

由题意： ＝，解得（舍去）　　　　　………（2分）

∴　Ｃ（２，）　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　………（１分）

方法二：∵　,＝，∴．…（2分）

由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD．

∴　＝CD×AD＝＝．可得CD＝．　　………（2分）

∴　AD=１，OD＝２．∴C（２，）．　　　　　　　　　　　………（1分）

（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图

      ①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3，

∴（3，）．                                           　  ……（2分）

      ②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1．

∴（1，）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  …………（１分）

当∠OPB＝Rt∠时

③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°

过点P作PM⊥OA于点M．

方法一： 在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝．

∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°，

∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴（，）．　　……（1分）

方法二：设Ｐ（x ，x+），得OM＝x ，PM＝x+

由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．

∵tan∠POM=== ，tan∠ABOC==．

∴x+＝x，解得x＝．此时，（，）． 　　　 ……（1分）

④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．　　　

  　 ∴　PM＝OM＝．

∴　（，）（由对称性也可得到点的坐标）．…………（2分）

当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求.

综合得，符合条件的点有四个，分别是：

（3，），（1，），（，），（，）．

注：四个点中，求得一个Ｐ点坐标给２分，两个给３分，三个给４分，四个给６分．