设△的内角所对边的长分别为，且有

（Ⅰ）求角A的大小；

(Ⅱ)若，，为的中点，求的长。

 【解析】（1）由题，，则，故，即.

（2）因，，因为的中点，故，则，所以

 

如图1，在中，，D,E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将沿DE折起到的位置，使，如图2.

（Ⅰ）求证：DE∥平面

（Ⅱ）求证：

（Ⅲ）线段上是否存在点Q，使？说明理由。

【解析】（1）∵DE∥BC，由线面平行的判定定理得出

（2）可以先证，得出，∵∴

∴

(3)Q为的中点，由上问，易知,取中点P，连接DP和QP，不难证出，∴∴,又∵∴

 

数列首项，前项和满足等式（常数，……）

（1）求证：为等比数列；

（2）设数列的公比为，作数列使 （……），求数列的通项公式.

（3）设，求数列的前项和.

【解析】第一问利用由得

两式相减得

故时，

从而又  即，而

从而  故

第二问中，     又故为等比数列，通项公式为

第三问中，

两边同乘以

利用错位相减法得到和。

（1）由得

两式相减得

故时，

从而   ………………3分

又  即，而

从而  故

对任意，为常数，即为等比数列………………5分

（2）    ……………………7分

又故为等比数列，通项公式为………………9分

（3）

两边同乘以

………………11分

两式相减得

 

已知曲线C:(m∈R)

（1）   若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；

（2）     设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线。

【解析】（1）曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当解得，所以m的取值范围是

(2)当m=4时，曲线C的方程为，点A,B的坐标分别为，

由，得

因为直线与曲线C交于不同的两点，所以

即

设点M，N的坐标分别为，则

直线BM的方程为，点G的坐标为

因为直线AN和直线AG的斜率分别为

所以

即,故A，G，N三点共线。

 

设函数，其中为自然对数的底数.

（1）求函数的单调区间；

（2）记曲线在点（其中）处的切线为，与轴、轴所围成的三角形面积为，求的最大值.

【解析】第一问利用由已知，所以，

由，得， 所以，在区间上，，函数在区间上单调递减； 在区间上，，函数在区间上单调递增；

第二问中，因为，所以曲线在点处切线为：.

切线与轴的交点为，与轴的交点为，

因为，所以，  

， 在区间上，函数单调递增，在区间上，函数单调递减.所以，当时，有最大值，此时，

解：（Ⅰ）由已知，所以， 由，得，  所以，在区间上，，函数在区间上单调递减； 

在区间上，，函数在区间上单调递增；  

即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（Ⅱ）因为，所以曲线在点处切线为：.

切线与轴的交点为，与轴的交点为，

因为，所以，  

， 在区间上，函数单调递增，在区间上，函数单调递减.所以，当时，有最大值，此时，

所以，的最大值为