4.直线与圆锥曲线的位置关系

例6若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是(　　 )

A．　　 B．

C．　　　　　 D．

解析：设圆心坐标为，则且.又，故，由得(圆心在第一象限、舍去)或，故所求圆的标准方程是。

点评：本题考查直线和圆的有关基础知识，考查坐标法的思想，考查运算能力。解题的关键是圆心坐标。

易错指导：不能把直线与圆相切的几何条件通过坐标的思想转化为代数条件，或是运算求解失误等.

例7 (过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为______________

解析：双曲线右顶点，右焦点，双曲线一条渐近线的斜率是，直线的方程是，与双曲线方程联立解得点的纵坐标为，故△AFB的面积为。

点评：本题考查双曲线的基础知识和运算能力.

易错指导：过右焦点和渐近线平行的直线和双曲线只有一个交点，如果写错渐近线的方程，就会解出两个交点，不但增加了运算量，还使结果错误.

例8 在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以为圆心，为半径的圆做圆，若过点，所作圆的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为　　 ▲　　

解析：过点作圆的两切线互相垂直，如图，这说明四边形是一个正方形，即圆心到点的距离等于圆的半径的倍，即，故.

点评：本题把椭圆方程、圆和圆的切线结合起来，考查椭圆的简单几何性质，体现了“在知识的网络交汇处设计试题”的原则，较全面地考查了解析几何的基本知识。解题的突破口是将圆的两条切线互相垂直转化为一个数量上的关系。

易错指导：陷入圆的两条切线互相垂直，不能通过数形结合的方法找到解题途径等，是考生解错本题的主要原因。

例9设，椭圆方程为，

抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，

与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)．

解析：(1)由得，

当得，G点的坐标为，，，

过点G的切线方程为即，

令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，

即，

即椭圆和抛物线的方程分别为和；

(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个.

若以为直角，设点坐标为，

、两点的坐标分别为和，

。

关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形.

点评：本题考查椭圆和抛物线方程的求法、抛物线的切线方程的求法、存在性问题的解决方法、分析问题解决问题的能力，是一道几乎网罗了平面解析几何的所有知识点并且和导数的应用交汇在一起的综合性试题，是一道“在知识网络的交汇处”设计的典型试题。

易错指导：本题把抛物线和椭圆结合在一起，题目的条件里还有两条直线，考生在心理上畏惧，可能出现的问题是思维混乱，理不清题目中错综复杂的关系，找不到正确的解题思路；在解决第二问时缺乏分类讨论的思想意识产生漏解等

3.圆锥曲线的基本问题：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其性质，求简单的曲线方程.

例4已知点P在抛物线y² = 4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为(　　 )

A. (，－1)　　　　　 B. (，1)　　　　 C. (1，2)　　　　 D. (1，－2)

解析：定点在抛物线内部，由抛物线的定义，动点到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点到点和抛物线的准线距离之和最小时，求点的坐标，显然点是直线和抛物线的交点，解得这个点的坐标是.

点评：本题考查抛物线的定义和数形结合解决问题的思想方法。类似的题目在过去的高考中比较常见。

易错指导：不能通过草图和简单的计算确定点和抛物线的位置关系，不能将抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离，是解错本题或不能解答本题的原因.

例5已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为　　　　　 ．

解析：　 圆和轴的交点是，和轴没有交点。故只能是点为双曲线的一个顶点，即；点为双曲线的一个焦点，即。，所以所求双曲线的标准方程为。

点评：本题考查圆和双曲线的基础知识，考查数形结合的数学思想。解题的关键是确定所求双曲线的焦点和顶点坐标。

易错指导：数形结合的思想意识薄弱，求错圆与坐标轴的交点坐标，用错双曲线中的关系等，是不同出错的主要问题.

2.圆的基本问题：圆的标准方程和一般方程、两圆位置关系.

例3 已知圆的方程为．设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为(　　 )

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

解析：圆心坐标是，半径是，圆心到点的距离为，根据题意最短弦和最长弦(即圆的直径)垂直，故最短弦的长为，所以四边形的面积为.

点评：本题考查圆、平面图形的面积等基础知识，考查逻辑推理、运算求解等能力。解题的关键有二，一是通过推理知道两条弦互相垂直并且有一条为圆的直径，二是能根据根据面积分割的道理，推出这个四边形的面积就是两条对角线之积的一半。本题是一道以分析问题解决问题的能力立意设计的试题.

易错指导：逻辑思维能力欠缺，不能找到解题的关键点，或是运算能力欠缺，运算失误，是本题不能解答或解答错误的主要原因。

1.直线的基本问题：直线的方程几种形式、直线的斜率、两条直线平行与垂直的条件、两直线交点、点到直线的距离。

例　 1　 已知与，若两直线平行，则的值为 ．

解析： ．

点评：解决两直线平行问题时要记住看看是不是重合．

易错指导：不知道两直线平行的条件、不注意检验两直线是否重合是本题容易出错的地方.

例2 经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 　　　　　．

解析：圆心坐标是，所求直线的斜率是，故所求的直线方程是，即。

点评：本题考查解析几何初步的基本知识，涉及到求一般方程下的圆心坐标，两直线垂直的条件，直线的点斜式方程，题目简单，但交汇性很强，非常符合在知识网络的交汇处设计试题的命题原则，一个小题就把解析几何初步中直线和圆的基本知识考查的淋漓尽致。

易错指导：基础知识不牢固，如把圆心坐标求错，不知道两直线垂直的条件，或是运算变形不细心，都可能导致得出错误的结果.

2.　　　　　　　 注意体会数形结合思想、函数方程思想、分类讨论思想、等价转化思想和坐标法、向量法、参数法、待定系数法、配方法、换元法等数学思想和方法在解题中的应用.

[知识纵横]

[教法指引]

由于本章内容属解析几何的基础知识，在历年高考中多以中低档题出现，主要考查基础知识和基本方法，同时鉴于它的基础性和工具性，又容易和其他知识联系和交叉，如与向量、与圆锥曲线、与函数、不等式等的综合题等等

[典例精析]

1.　　　　　　　 理解直线方程的五种形式，能根据已知条件恰当选择方程的形式，在解决直线和圆的有关问题时，应充分利用几何图形的性质；

8．求轨迹方程的主要方法有：直接法、定义法、坐标代入法、变量代换法、交轨法等．

[考纲要求]

7．涉及圆锥曲线焦点问题，应首先考虑用圆锥曲线的定义解题．

6．涉及直线与圆锥曲线交点的坐标运算问题，在联立直线与圆锥曲线的方程后，得到一个一元二次方程(若是双曲线或抛物线，要讨论的系数为0的情况)，设出交点坐标，把坐标运算配凑成，利用韦达定理，整体运算，运算中注意设而不求思想运用，设出的点的坐标，只是起到过渡作用，并不具体求出，而是整体运算，直指目标．

5．点差法．涉及弦中点，弦所在直线的斜率问题，用点差法．一旦涉及弦长问题，仍是用联立法简单些．