7．无穷数列{}的前n项和为S_n，称为数列{}的无穷多项和或所有项和。求时，切不可分别求各项的极限后再求和；必须先求S_n，再求极限。若{}为等比数列，公比为q且|q|<1，则=。

[举例1]若数列满足: , 且对任意正整数都有, 则

　　 (07高考湖南理2)

　 A．　　　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

解析：数列满足: , 且对任意正整数都有，，∴数列是首项为，公比为的等比数列。，选A.

[巩固2]如图，抛物线与轴的正半轴交

于点，将线段的等分点从左至右依次记为

，过这些分点分别作轴的垂线，

与抛物线的交点依次为，从而得到个直角三角形．当时，这些三角形的面积之和的极限为　　　　　 ．

解析：，，…，；，，…，，记的面积为S_n，则S₁=，S₂=

，…，S_n-1=;　 =

===.

[巩固1]数列{}的前n项和为S_n，则S_n＝______________

[巩固2] 如图，等边三角形ABC的面积等于1，连结这个三角形各边的中

点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的

三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和.

[巩固3]_____________

6．若||<1,则=0；=1，则=1；若>1或≤-1, 则不存在。

=(为常数)；“ ”型的式子极限为0；“”型、“”型的极限不存在；“”型和“”型，一般分子、分母“同除以”一个式子(包括“约分”)后再求极限；含有根式的和(差)的式子一般有理化后再求极限。若=A、=B，则 (±)= A±B, ()=AB, = (B≠0).

[举例1]若　　　　 .

解析：分母有理化

[举例2]已知和是两个不相等的正整数，且，则( 　　)

A．0　　　　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D． (07高考湖北理5)

解析：

===，选C。

[巩固1]把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于(　　 )

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．2

[巩固2]. n→∞lim等于( 　)

　A. 1　　 B. 　　 C.　　 D.0

[迁移]设正数满足，则(　)

A．　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．　　 (07高考重庆理8)

5．若存在，则=，若==0，则一般“约分”(约去含的因式)后再求极限。若=A、=B，则[±]= A±B, []=AB, = (B≠0).

[举例] 　　　　　.(07高考陕西理13)

解析：==，

∴=

[巩固1] 下列四个命题中，不正确的是(　　 )

A．若函数在处连续，则

B．函数的不连续点是和

C．若函数，满足，则

D．　　　 (07高考湖南理7)

[巩固2] ________　

4．数学归纳法通常用于证明关于自然数n的等式、不等式、整除性等。用“归纳假设”即命题p(k)成立证明命题 p(k+1)成立(已知p(k)成立，求证p(k+1)成立)是数学归纳法证明中最关键的一步；而明晰命题p(k)与命题 p(k+1)之间的关系又是实现这一步的前提。

[举例1] 已知为正整数，用数学归纳法证明：当时，；

解析：视为关于的不等式，为参数，以下用数学归纳法证明：

(ⅰ)当时，原不等式成立；当时，左边，右边，

因为，所以左边右边，原不等式成立；

(ⅱ)假设当时，不等式成立，即，则当时，

，，于是在不等式两边同乘以得

，

所以．即当时，不等式也成立．

综合(ⅰ)(ⅱ)知，对一切正整数，不等式都成立．

[举例2]设正整数数列满足：，且对于任何，有

；(1)求，；(2)求数列的通项．

(07高考江西理22)

解析：(1)据条件得　　 ①

当时，由，即有，

解得．因为为正整数，故．

当时，由，解得，所以．

(2)由，，，猜想：．

下面用数学归纳法证明．

1当，时，由(1)知均成立；

2假设成立，则，则时

由①得

因为时，，所以．

，所以．又，所以．

故，即时，成立．由1，2知，对任意，．

[巩固1]已知数列，，…，，…；S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S，并用数学归纳法证明。

[巩固2] 已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．(Ⅰ)求的通项公式；

(Ⅱ)设数列满足，并记为的前项和，求证：

　 (07高考重庆理21)

3．数学归纳法公理：如果关于自然数n 的一个命题p(n)满足下列条件 (1)　 p(n₀)成立,即当n=n₀时,命题成立，(2)　 假设p(k)成立,则p(k+1)也成立；根据(1)(2)知命题p(n)对n≥n₀的所有自然数n都成立。用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个递推的过程，(1)是递推的基础，(2)是递推的条件；二者缺一不可。

2．能根据f(k)正确写出f(k+1),并能指出f(k)与f(k+1)之间的关系，这往往是运用数学归纳法的最关键的一步。

[举例1]已知，则=

A．+，　　　　　 B．++，

C．-　　 　　　　D．+-

解析：是从n+1开始的n个连续自然数的倒数和，故是从n+2开始的n+1个连续自然数的倒数和，即

　=

==++-

=+-　 故选D。

[举例2]用数学归纳法证明“5ⁿ－2ⁿ能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5^k+1－2^k+1变形为　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[解析]假设n=k时命题成立.即:5^k－2^k 被3整除.当n=k+1时，5^k+1－2 ^k+1 =5×5^k－2×2 ^k

=5(5^k－2^k) +5×2^k－2×2^k=5(5^k－2^k) +3×2^k

[巩固1] 用数学归纳法证明1+++…+<n　 (n>1)时，由n＝k (k>1)不等式成立，推证n＝k+1时，左边应增加的代数式的个数是_____。

　 A.　 2　　　　 B.　 2－1　　　　 C.　 2　　　 　D.　 2+1

[巩固2]用数学归纳法证明命题：

　(n+1) ×(n+2) ×…×(n+n)=2ⁿ×1×3×…×(2n－1)　

1．数学归纳法用于证明一个“关于正自然数n的命题对于从正自然数n₀开始的所有正自然数n都成立”的问题。

4．复数包括实数和虚数，实数是虚部为0的复数；-1的“平方根”为，= -1，，=1，；复数运算遵循有理式的运算法则；复数的商一般将分母“实数化”(分子分母同乘分母的共扼复数)；两个虚数不能比较大小；两个复数相等当且仅当它们的实部相等，虚部也相等；复数(∈R，∈R)在复平面内唯一对应点(，)。

[举例1] 设是实数，且是实数，则(　 　)

A．　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　 D．

解析：==∈R，则1

[举例2] 已知，且(是虚数单位)是实系数一元二次方程

　的两个根，那么的值分别是(　)A

　　 A．　　　　　　　　　　 B．

　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

解析：分别将代入方程得：　 ①

　 ②　 对①②整理得：

；解得：。本题也可以用“韦达定理”求解：

　 ③，　 ④　　 对③④整理得：

。

[巩固1]在复平面内，复数z=对应的点位于

(A)第一象限　(B)第二象限　(C)第在象限　(D)第四象限

[巩固2] 设复数满足，则(　　 )

A．　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

3.求在闭区间内的最值的步骤：(1)求导数(2)求导数方程=0的根(3)检查在根的左右值的符号，列表求得极值；也可通过解不等式≥0及≤0确定函数在给定区间内的单调情况，再确定函数的极值；最后将极值与区间端点的函数值比较以确定最值。

[举例1] 设函数在及时取得极值．

(Ⅰ)求a、b的值；(Ⅱ)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

解析：(Ⅰ)，由，．解得，．

(Ⅱ)在[0，3]上恒成立即，

由(Ⅰ)可知，，．

当时，；当时，；当时，．

即在0，1]上递增，[1，2]上递减，[2，3]上递增；∴当时，取得极大值，又．故当时，的最大值为．

于是有：，解得　或，因此的取值范围为。

[举例2] 已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．用表示，并求的最大值；

解析：设与在公共点处的切线相同．

，，由题意，．

即由得：，或(舍去)．

即有．

令，则．于是当，即时，；当，即时，．故在为增函数，

在为减函数，∴在的最大值为．

[巩固1] 设函数，求在区间的最大值和最小值．

[巩固2] 已知函数，其图象为曲线C

(1)　　　 直线l:y=x+1与曲线C相切于x轴上一点，求的a、b的值

(2)是否存在实数a、b，使f(x)在［-1、2］上取得最大值为3，最小值为-29。若存在，求出a、b的值，并指出函数y=f(x)的单调递增区间；若不存在，请说明理由。

2．“极值点”不是“点”，而是方程的根。是函数极值点则；但是，未必是极值点(还要求函数在左右两侧的单调性相反)；若

　(或)恒成立，则函数无极值。

[举例1] 已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且．(1)证明；(2)若z=a+2b,求z的取值范围。

解析：函数的导数．

(Ⅰ)由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．所以；当时，为增函数，，由，得．

(Ⅱ)在题设下，等价于　即．

化简得．此不等式组表示的区域为平面上三条直线：

所围成的的内部，由“线性规划”的知识容易求得：的取值范围为．

[举例2] 已知函数在处有极值10,则　　　　

解析： ，∴=　 ①

　 ②　 由①②得：或

当时，，此时函数无极值，舍去；

当时，函数在处左减右增，有极小值；

此时∴18 。注：在解决“已知函数的极值点求参变量”的问题时，为避免“增根”，需将求出的参变量的值代入检验其是否为完全平方式，若是则函数无极值(单调)，否则有极值；也可以对再次求导，看的值，为0则无极值，为正则有极小值，为负则有极大值。

[巩固1]已知在区间[0,1]上是增函数,在区间上是减函数,又(Ⅰ)求的解析式;　 (Ⅱ)若在区间(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范围.

[举例2]设函数，其中．证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．(07高考山东文21)