第一节　　　 听力理解(5段共15小题；每小题2分，满分30分)

每段播放两遍。各段后有几个小题，各段播放前每小题有5秒钟的阅题时间。请根据各段播放内容及相关小题，在5秒钟内从题中所给的A、B、C项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

听第一段对话，回答第1-3题。

1.　　 Where probably is the woman now?

　　　 A. In the Emergency Services.

　　　 B. In an elevator.

　　　 C. On the 15^th floor of the Brill building.

2. 　 What is the problem with the woman’s friend?

　　　 A. She has been bitten by a dog.　 　　　　　　

B. She is having difficulty in breathing.　　 　　　　　　　

C. She fell downstairs and was out.

3. 　 What advice does the man give the woman?

　　　 A. She should keep her friend calm and far away from the dog.

　 　 B. She should leave her friend where she is. 　　　　　

C. She should send a rescue team and an ambulance right away.

听第二段对话，回答第4-6题。

4. 　 How old is the man?

　　　 A. 78.　　　　　　　　　 B. 75.　　　　　　　　　 C. 72.

5. 　 What do you learn from the conversation?

　　　 A. No streets of the city are more glorious than Sweet Jesus.

　　　 B. The woman is looking for her client’s office.

　　　 C. The woman is new to the city.

6. 　 Where is the building?

　　　 A. It’s at No.149.

　　　 B. It’s on the left of Joe’s.

　　　 C. It’s three blocks away next to a baker’s.

听第三段对话，回答第7-9题。

7. 　 How many home accidents involving children can be prevented every year in Britain?

　　　 A. About 10,000. 　　　　　　 　B. About 900,000.　　　　　　　　 C. About 1,000,000.

8. 　 What do we learn about parents?

A. Parents should use mats to prevent children slipping on the floor of the bathroom.

B. Parents should keep the appliances, hot foods within reach.

C. Parents should accompany children all the time.

9. 　 According to the woman, which is the most dangerous room in the house?

　　　 A. The bathroom.　 　　　　　 　B. The kitchen.　 　　　　　　　 C. The living room.

听第四段对话，回答第10-12题。

10.　 When did the earthquake strike?

　　　 A. At midnight.　　　　　 B. At dawn.　　　　 　　C. At dusk.

11. What do we know about the earthquake?

　　　 A. It was a mild one.

　　　 B. There was more than one aftershock.

　　　 C. There were no other survivors.

12. What happened to the apartment building?

A. It collapsed completely.

B. Half of the building was in ruins.

C. The first floor was totally flattened.

听第五段独白，回答第13-15题。

13. What is the talk mainly about?

　 A. The prize wars.　

B. The entertainment awards.

C. The Grammy Awards, Golden Globes and People’s Choice Awards.

14. In some people’s opinion, what draws more attention in ceremonies?

　 A. What the winners say.

　 B. What the winners wear.

　 C. What the winners show.

15. What impresses the speaker most?

　 A. The pre-show.

　 B. The announcement of winners.

　 C. What the stars will say.

21．(本小题满分14分)

设是关于的方程的根. 试证明：

(1)；　

(2)；　

(3)．

证明：(1)设，

且函数的图象在上是连续的，

在上至少有一个零点，即方程在内至少有一个根.　

……………………………………………………………………… 3分

，，在上是增函数.

方程在内有唯一根，且根在内，即.………… 5分

(2)方法一：

且函数的图象在上是连续的，

在内至少有一个零点，即方程在内至少有一个根.　

又由(1)知函数在上单调递增，

方程在内有唯一根，.……………………… 8分

，．　　　　　 …………………………………… 9分

方法二：由(1)知，两式相减得：

　　 　　………………………………………………7分

若存在，使得，则，从而，矛盾.

所以.　　　　　　　　　 ………………………………………………………… 9分

(3)由题设得，

当时，.　　　　　　　　　

．　　　　　……………………………………12分

当时有

…

．

综上．　　　　　　 　 ……………………………………………　 14分

20．(本小题满分14分)

已知函数，其中为不大于零的常数.

　(1) 讨论的单调性；

(2) 求证： (,为自然对数的底数).

解：(1)．　　　………………………………1分

①当时，，

　　 在单调递增，在单调递减；　　 ………………………………3分

　 ②当，即时，对恒成立

　　 在上单调递减；　　 ……………………………………………… 5分

③当时，

或

　 上单调递增，

　　 在和上单调递减；　 …………………… 7分

综上所述，当时，在上单调递减，

当时，在上单调递增，

在和上单调递减.

当时，在单调递增，在上单调递减.　　 …………8分

(2)由(1)知，当在上单调递减，

当时，由得 　　　……………………………10分

　　　　 ………………………………………………14分

19．(本小题满分14分)

如图，在直角梯形中，，点在线段的延长线上.曲线段上任一点到、两点的距离之和都相等．

(1)建立适当的直角坐标系，求曲线段的方程；

(2)试问：过点能否作一条直线与曲线段相交于两点

、，使得线段以C为中点？若能，则求直线

的方程；若不能，则说明理由．

解：(1)以直线为轴，线段的中点为原点，

建立如图所示的平面直角坐标系，

则　 ……………… 1分

，

依题意，曲线段是以、为左、右焦点，长轴长为的椭圆的一部分．　 ………………………………………… 3分

故曲线段的方程为．　　　　 …………………………… 6分

(2)设这样的直线存在，由直线与曲线段只有一个交点，

知直线存在斜率，设直线的方程为即

将其代入得

　①　　 　　…………………… 9分

设，则由

知解得　　　 …………………12分

当时，方程①化为：，解得

即，适合条件．

故直线存在，其方程为即　　 ……………… 14分

18．(本小题满分14分)

如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，

，，是线段的中点.

(1)求证：∥平面；

(2)求二面角的大小；

(3)试问：在线段上是否存在一点，使得直线

与所成角为？

解:方法一：(1)记与的交点为,连接,

　∵、分别是、的中点，是矩形，

∴四边形是平行四边形，∴∥.

∵平面BDE，平面，

∴∥平面. 　　　　……………………………………………………………… 4分

(2)在平面中过作于，连结，

， ∴⊥平面，

∴⊥，又　 平面　 ，

∴是二面角的平面角. 　　　　　……………………………………… 6分

在中，∴

∴二面角的大小为.　　　　 ……………………………………………… 9分

(3)设(),作于Q，则∥，

∵，，，

∴⊥平面，

平面，∴.　

在中，，.

∵为等腰直角三角形，∴

又∵Δ为直角三角形，∴，

∴ 或(舍去)．

∴点是的中点. 　　　　　　　……………………………………………………… 14分

方法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系.设，连接，

则点、的坐标分别是(、,∴(,

又点、的坐标分别是()、(，∴=(

∴=且与不共线，∴∥.

又∵平面BDE，平面，∴∥平面. 　　………………… 4分

(2)，∴⊥平面.

∴为平面的法向量.

∵=(·=0，

∴·=(·，

　得,　 ∴为平面的法向量.

∴<,>，∴与的夹角是.

即所求二面角的大小是. 　　……………………………………………… 9分

(3)设 ，得，∴，

又∵和所成的角是. ，

解得或(舍去)，即点是的中点.　　 …………………………… 14分

17．(本小题满分12分)

某休闲会馆拟举行“五一”庆祝活动，每位来宾交元的入场费，可参加一次抽奖活动. 抽奖活动规则是：从一个装有分值分别为的六个相同小球的抽奖箱中，有放回的抽取两次，每次抽取一个球，规定：若抽得两球的分值之和为分，则获得价值为元的礼品；若抽得两球的分值之和为分或分，则获得价值为元的礼品；若抽得两球的分值之和低于分，则不获奖.

　 　　　(1)求每位会员获奖的概率；

(2)假设这次活动会馆既不赔钱也不赚钱，则应为多少元？

解：(1)两次抽取的球的分值构成的有序数对共有对，其中分值之和为的有对，分值之和为的有两对，分值之和为的有对，所以每位会员获奖的概率为

　　 ．　　　　　　 …………………………………………………………4分

(2)设每位来宾抽奖后，休闲宾馆的获利的元数为随机变量，

则的可能取值为、、．　　　　 ……………………………………………5分

　　　 …………………………………8分

则宾馆获利的期望为．

若这次活动会馆既不赔钱也不赚钱，则=0，即，

所以，.　　　 …………………………………………………………………………11分

答：(1)每位会员获奖的概率为；(2)应为元．　　　 …………………………12分

16.(本小题满分12分)

已知向量，其中＞0，且，又函数的图像两相邻对称轴之间的距离为.

(1)求的值；

(2) 求函数在区间上的最大值与最小值及相应的值．

解：(1) ，

．

……………………………………………… 4分

由题意，函数的最小正周期为，又＞0，． ……………6分

(2) 由(1)知，

，

当即时，取得最大值　　　 ……………………………… 9分

当即时，取得最小值　　　　 ………………………12分

9. ；　 10.　 ； 　11. 或；　 12. ；　 13. ；　 14. ； 15. ．

21．(本小题满分14分)

设是关于的方程的根. 试证明：

(1)；　

(2)；　

(3)．

广东省2010届高三上学期四校联考

　 数　学(理科)　　

答案及说明

说明：