(一)问题提出

问题1 气球膨胀率

　　 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是

如果将半径表示为体积的函数,那么

分析:

(1)当从增加到时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

(2)当从增加到时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.

思考: 当空气容量从V₁增加到V₂时,气球的平均膨胀率是多少?

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

思考计算: 和的平均速度

在这段时间里,

在这段时间里,

探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:

(1)运动员在这段时间内使静止的吗？

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程: 如图是函数的图像,

结合图形可知,,所以

虽然运动员在这段时间里的平均速度为,

但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,

可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.

导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:

(15) 已知向量.

是否存在实数若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.

(16)如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问

与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值.

(17)已知两点M(-1,0), N(1, 0), 且点P使成公差小于零的等差数列.

(Ⅰ)点P的轨迹是什么曲线?

(Ⅱ)若点P的坐标为(x_0, y₀), 记θ为,的夹角, 求tanθ.

(18)中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且

(Ⅰ)求的值

(Ⅱ)设，求的值。

(11)已知向量，且A、B、C三点共线，则k=___

(12)已知向量与的夹角为120°,且||=2, ||=5,则(2-)·=　　　　 .

(13已知向量不超过5，则k的取值范围是_______

(14) 直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是__________

(1) 若，且，则向量与的夹角为　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

A　 30°　　　　　　　　　　　 B　 60°　　 　　　　　　　　　　　C 　120°　　　　　　　　　　　　 D　 150°

(2) P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的(　 )

　A　 外心　　　　　　　 B　 内心　　　　　　　　 C　 重心　　　　　　　　 D　 垂心

(3)已知平行四边形ABCD中,　 =(3, 7 ), =(-2, 3 ), 对角线AC, BD交于点O,

则的坐标为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　　 )

　　　　 A 　(-, 5) 　　　　　　　　　B (-, -5)　　 　　　　　　　C (, -5) 　　　　　　　　　　D (, 5) 　

(4) 已知向量(　 　　　)

A　 30°　　　 　　　　　　　　 B　 60°　　　 　　　　　 C　 120°　 　 　　　　D　 150°

(5)为了得到函数y＝sin(2x-)的图像,可以将函数y＝cos2x的图像　　　　　　　　　 　　　　　　　(　　　 )

A 向右平移个单位长度　　　　　 B 向右平移个单位长度

C 向左平移个单位长度　　　　　 D 向左平移个单位长度

(6) 点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为||个单位.设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

A　 (－2，4)　　 　 B (－30，25)　　　 C (10，－5)　 　　　 D (5，－10)

(7) 在△ABC中，∠C=90°，则k的值是　　　　 　　　 ( 　　　)

A　 5　　 　　　 　　　　　　　　B　 －5　 　　 　　　　　　　C　 　 　　　　　　　　　　　　　　D　

(8) 已知、均为单位何量,它们的夹角为60°,那么| + 3 | =　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

A　 　　　　　　　　　　　　B　 　　　　　　　　　　　　C　 　　　　　　　　　　　　　　D　 4

(9) 已知点A(，1)，B(0，0)C(，0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有等于　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

A　 2　　 　　　　　　 B　 　 　　　　　　　　　　　　C　 －3 　　　　　　　　　　　　 D　 －

(10) 已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则　　　　　　 (　　　 )

A 　⊥　　 　　　　　　B 　⊥(－)　 　　　　C　　 ⊥(－) 　　　　　　　D　 (+)⊥(－)

25.(09年重庆卷)(19分)如题25图，离子源A产生的初速为零、带电量均为e、质量不同的正离子被电压为U₀的加速电场加速后匀速通过准直管，垂直射入匀强偏转电场，偏转后通过极板HM上的小孔S离开电场，经过一段匀速直线运动，垂直于边界MN进入磁感应强度为B的匀强磁场。已知HO=d，HS=2d，=90°。(忽略粒子所受重力)

(1)求偏转电场场强E₀的大小以及HM与MN的夹角；

(2)求质量为m的离子在磁场中做圆周运动的半径；

(3)若质量为4m的离子垂直打在NQ的中点处，质量为16m的离子打在处。求和之间的距离以及能打在NQ上的正离子的质量范围。

解析：

25.(09年四川卷)(20分)如图所示，轻弹簧一端连于固定点O，可在竖直平面内自由转动，另一端连接一带电小球P,其质量m=2×10^-2 kg,电荷量q=0.2 C.将弹簧拉至水平后，以初速度V₀=20 m/s竖直向下射出小球P,小球P到达O点的正下方O₁点时速度恰好水平，其大小V=15 m/s.若O、O₁相距R=1.5 m,小球P在O₁点与另一由细绳悬挂的、不带电的、质量M=1.6×10^-1 kg的静止绝缘小球N相碰。碰后瞬间，小球P脱离弹簧，小球N脱离细绳，同时在空间加上竖直向上的匀强电场E和垂直于纸面的磁感应强度B=1T的弱强磁场。此后，小球P在竖直平面内做半径r=0.5 m的圆周运动。小球P、N均可视为质点，小球P的电荷量保持不变，不计空气阻力，取g=10 m/s²。那么，

(1)弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为多少？

(2)请通过计算并比较相关物理量，判断小球P、N碰撞后能否在某一时刻具有相同的速度。

　(3)若题中各量为变量，在保证小球P、N碰撞后某一时刻具有相同速度的前提下，请推导出r的表达式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ为小球N的运动速度与水平方向的夹角)。

解析：

(1)设弹簧的弹力做功为W，有：　　　　　　　　　　

　　　　　　　　①

代入数据，得：W＝J　　　　　　　　 　②

(2)由题给条件知，N碰后作平抛运动，P所受电场力和重力平衡，P带正电荷。设P、N碰后的速度大小分别为v₁和V，并令水平向右为正方向，有: 　　③

而： 　　　　　　　　　　　　　　 ④

若P、N碰后速度同向时，计算可得V<v1，这种碰撞不能实现。P、N碰后瞬时必为反向运动。有： 　　　　　　　　　　⑤

P、N速度相同时，N经过的时间为，P经过的时间为。设此时N的速度V1的方向与水平方向的夹角为，有：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥

　　　　　　　 　　　　　 ⑦

代入数据，得： 　　　　　　　　　　　 ⑧

对小球P，其圆周运动的周期为T，有：

　　　　　　　　　　　　　 　　　 ⑨

经计算得： ＜T，

P经过时，对应的圆心角为，有： 　　　　 ⑩

当B的方向垂直纸面朝外时，P、的速度相同，如图可知，有：

联立相关方程得：

比较得， ，在此情况下，P、N的速度在同一时刻不可能相同。

当B的方向垂直纸面朝里时，P、N的速度相同，同样由图，有： ，

同上得： ，

比较得， ，在此情况下，P、N的速度在同一时刻也不可能相同。

(3)当B的方向垂直纸面朝外时，设在t时刻P、N的速度相同，，

再联立④⑦⑨⑩解得：

当B的方向垂直纸面朝里时，设在t时刻P、N的速度相同，

同理得： ，

考虑圆周运动的周期性，有:

(给定的B、q、r、m、等物理量决定n的取值)

(09年海南物理)16．(10分)如图，ABCD是边长为的正方形。质量为、电荷量为的电子以大小为的初速度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：

(1)次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；

(2)此匀强磁场区域的最小面积。

解析：(1)设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力

应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧的圆心在CB边或其延长线上。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆半径为按照牛顿定律有

　 联立①②式得

(2)由(1)中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自点垂直于入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界。

为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为(不妨设)的情形。该电子的运动轨迹如图所示。

图中，圆的圆心为O，pq垂直于BC边 ，由③式知，圆弧的半径仍为，在D为原点、DC为x轴，AD为轴的坐标系中，P点的坐标为

这意味着，在范围内，p点形成以D为圆心、为半径的四分之一圆周，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。

因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以和为圆心、为半径的两个四分之一圆周和所围成的，其面积为

评分参考：本题10分。第(1)问4分，①至③式各1分；得出正确的磁场方向的，再给1分。第(2)问6分，得出“圆弧是所求磁场区域的一个边界”的，给2分；得出所求磁场区域的另一个边界的，再给2分；⑥式2分。

15.(09年江苏物理)(16分)如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置，总质量为m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流(由外接恒流源产生，图中未图出)。线框的边长为d(d < l)，电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为g。求：

(1)装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q；

(2)线框第一次穿越磁场区域所需的时间t₁；

(3)经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离_m。

解析：

(1)设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框上的安培力做功为W

由动能定理　

且

解得　

(2)设线框刚离开磁场下边界时的速度为，则接着向下运动

由动能定理　

装置在磁场中运动时收到的合力

感应电动势　 =Bd

感应电流　　 =

安培力　　　

由牛顿第二定律，在t到t+时间内，有

则

有

解得　

(3)经过足够长时间后，线框在磁场下边界与最大距离之间往复运动

　　 由动能定理　

　　 解得