Question

如图，平面内有A，B，C，D，E五个点，将其中每两个点都用带有颜色的线段连接起来，且满足有任意有公共端点的线段不同色．
（1）用四种颜色的线段连接各点，能否满足题目的要求，说明理由．
（2）至少需要几种颜色的线段，能满足题目的要求，举一例说明即可（举例时用编号代替颜色）．

Answer 1

分析：（1）、（2）这两个问题的解答思路实际上是完全相同的，否定了第一个问题即可推导出第二个问题的结果；所以根据题意，可以用抽屉原理来解答，先建立抽屉，然后向抽屉里放东西（线段），再假设确定一种颜色，用这种颜色去判断证明，然后同理证明其它颜色的线段即可．

解答：解：平面内A，B，C，D，E五个点的连线有：5×4÷2=10（条）；
（1）可以这样证明，五个点共有十条线段，假如我们用四个颜色的抽屉来装，那么肯定有的抽屉内会有（10÷4=2…3）三条线（即这三条线段的颜色相同），而五个点要避免同点的线不同色，我们先把1、2用红色的相连，再把3、4点用红色相连，而5点不论再与那个点用红色相连，势必会造成违反规定（有公共端点的线段不同色），因此4种颜色不行，如图（1）所示．同理可证，5种颜色可以完成要求．

 （2）由解答（1）可得：至少需要5种颜色的线段，能满足题目的要求，下面我们来证明：假如我们用五个颜色的抽屉来装，那么肯定每个抽屉内会有（10÷5）2条线（即这2条线段的颜色相同），正好把十条线段平均分开且没有剩余，我们先把1、2用红色的相连，再把3、4点用红色相连，这样刚好把2条红色线段放完；同理，其它抽屉里的同色的两条线段也可放完而不违反规定（有公共端点的线段不同色），如图（2）所示；因此至少需要5种颜色的线段能满足题目的要求．

答：至少需要5种颜色的线段，能满足题目的要求．

点评：本题虽然是染色问题，但是需要用抽屉原理来解答，关键是根据题意怎么先建立抽屉，建立几个抽屉，这些问题解决了，解答本题就容易了．