Question

（1）如图1，矩形ABCD，点C与坐标原点O重合，点A在x轴上，点B坐标为（3，），求经过A、B、C三点抛物线的解析式；
（2）如图2，抛物线E：经过坐标原点O，其顶点在y轴左侧，以O为顶点作矩形OADC，A、C为抛物线E上两点，若AC∥x轴，AD=2CD，则抛物线的解析式是______；
（3）如图3，点A、B、C分别为抛物线F：y=ax²+bx+c（a＜0）上的点，点B在对称轴右侧，点D在抛物线外，顺次连接A、B、C、D四点，所成四边形为矩形，且AC∥x轴，AD=2CD，求矩形ABCD的周长（用含a的式子表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先过点B作BH⊥AO于H，由三角函数的知识，即可求得∠AOB的度数，又由四边形ABCD是矩形，即可求得点A的坐标，又因为抛物线过原点，可设抛物线解析式为y=ax²+bx，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）根据矩形与三角函数的知识，即可求得点A与C的坐标分别为（-y，y）与（2y，y），又由抛物线过原点，求得c=0，将点A与C的坐标代入解析式即可求得b的值，则可求得抛物线的解析式；
（3）首先作辅助线：过点B作BH⊥AO于H，令顶点为P，作抛物线对称轴PQ交AC于点M，过B作BN⊥PQ于N，由三角函数的知识求得，则可令AH=t，将BH，CH，AB，BC用t表示出来，代入函数解析式即可求得t的值，则问题得解．
解答：解：（1）过点B作BH⊥AO于H，
则OH=3，BH=，
∴tan∠AOB=，
∴∠AOB=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABO=90°，
∴∠BAO=60°，
∴tan∠BAO=，
∴AH=1，
∴A（4，0），
∵抛物线过原点，设抛物线解析式为y=ax²+bx，
则，∴，
∴此抛物线的解析式为：y=-x²+x；

（2）∵四边形AOCD是矩形，
∴∠AOC=∠D=90°，OC∥AD，
∴∠ACO=∠CAD，
∵AC∥x轴，
∴∠OEC=90°，
∴∠AOE+∠COE=∠COE+∠OCA=90°，
∴∠AOE=∠ACO=∠CAD，
在Rt△ACD中，tan∠CAD=，
∵AD=2CD，
∴tan∠ACO=tan∠AOE=tan∠CAD=，
∵点A与C的纵坐标相同，
∴可设点A的坐标为（-y，y），点C的坐标为（2y，y），
∵抛物线过原点，
∴c=0，
∴抛物线解析式为：y=-x²+bx，
将点A与C的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：b=-，
∴此抛物线的解析式为：y=-x²-x；

（3）过点B作BH⊥AO于H，令顶点为P，
作抛物线对称轴PQ交AC于点M，
过B作BN⊥PQ于N，
∴∠BHC=∠BHA=90°，
∵∠ABC=90°，
∴tan∠ABH=tan∠ACB=，
令AH=t，则BH=2t，CH=4t，
AB=t，BC=t，
设y=ax²+bx+c=a（x-h）²+k，PN=n，
则A（，k-n-2t），B（，k-n），
∴，
∴t₁=0（舍去），，
∴AB=，BC=，
∴矩形ABCD的周长为．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，三角函数的应用以及求四边形的周长等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合与方程思想的应用．