Question

已知⊙与⊙相交于A、B两点，点在⊙上，C为⊙上一点（不与A，B，重合），直线CB与⊙交于另一点D。

（1）如图（1），若AC是⊙的直径，求证：AC=CD；
（2）如图（2），若C是⊙外一点，求证：C⊥AD；
（3）如图（3），若C是⊙内一点，判断（2）中的结论是否成立。

Answer 1

证明：（1）如图（一），连接AB，C，
∵AC为⊙的直径，
∴，
∴AD为⊙的直径，
∴在AD上，
又，为AD的中点，
∴△ACD是以AD为底边的等腰三角形，
∴AC=CD；
（2） 如图（二），连接A，并延长A交⊙与点E，连ED，
∵四边形AEDB内接于⊙，
∴∠ABC=∠E，
又∵，
∴，
∴，
又AE为⊙的直径，
∴ED⊥AD，
∴；
（3）如图（三），连接A，并延长A交⊙与点E，连ED，
∵∠B=，
又∠E=∠B，
∴=∠E，
∴，
又，∴。