Question

已知：如图，⊙P与x轴相切于坐标原点O，点A（0，2）是⊙P与y轴的交点，点B（-2，0）在x轴上．连接BP交⊙P于点C，连接AC并延长交x轴于点D。
（1）求线段BC的长；
（2）求直线AC的关系式；
（3）当点B在x轴上移动时，是否存在点B，使△BOP相似于△AOD？若存在，求出符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）法一：由题意，得OP=1，BO=2，CP=1， 在Rt△BOP中， ∵BP2=OP2+BO2， ∴（BC+1）2=12+（2）2， ∴BC=2； 法二：延长BP交⊙P于G， 如图所示，由题意，得OB=2，CG=2， ∵OB2=BC·BG， ∴（2）2=BC（BC+2）， BC=2； （2）如图所示，过点C作CE⊥x轴于E，CF⊥y轴于F， 在△PBO中， ∵CF∥BO， ∴， 即， 解得CF=， 同理可求得CE=， 因此C（-，）， 设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0）， 把A（0，2），C（-，）两点代入关系式，得， 解得， ∴所求函数关系式为y=x+2； （3）如图所示，在x轴上存在点B，使△BOP与△AOD相似， ∵∠OPB＞∠OAD， ∴∠OPB≠∠OAD， 故若要△BOP与△AOD相似，则∠OBP=∠OAD， 又∠OPB=2∠OAD， ∴∠OPB=2∠OBP， ∵∠OPB+∠OBP=90°， ∴3∠OBP=90°， ∴∠OBP=30°， 因此OB=cot30°OP=， ∴B1点坐标为（-，0）， 根据对称性可求得符合条件的B2坐标（，0）， 综上，符合条件的B点坐标有两个：B1（-，0），B2（，0）．