Question

已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题：

（1）当为何值时，？

（2）设的面积为（），求与之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，，

由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t，

若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，

∴，

∴，

∴．                    

（2）过点P作PH⊥AC于H．

∵△APH ∽△ABC，

∴，

∴，

∴，

∴．    　

（3）若PQ把△ABC周长平分，

则AP+AQ=BP+BC+CQ．

∴，   

解得：．

若PQ把△ABC面积平分，

则，  即－＋3t=3．

∵ t=1代入上面方程不成立，

∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．

（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，

若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．

∵PM⊥AC于M，

∴QM=CM．

∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．

∴，  ∴，

∴，

∴，

∴，

解得：．

∴当时，四边形PQP ′ C 是菱形．     

此时，　，

在Rt△PMC中，，

∴菱形PQP ′ C边长为．