Question

如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵该抛物线过点C(0，－2)， 　　∴可设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2． 　　将A(4，0)，B(1，0)代入， 　　得解得 　　∴此抛物线的解析式为y＝2＋x－2　　(3分) 　　(2)存在　　(4分) 　　如图，设P点的横坐标为m， 　　则P点的纵坐标为－m2＋m－2 　　当1＜m＜4时， 　　AM＝4－m，PM＝－m2＋m－2 　　又∵∠COA＝∠PMA＝90°， 　　∴①当时， 　　△APM∽△ACO， 　　即4－m＝2(－m2＋m－2)， 　　解得m1＝2，m2＝4(舍去)．∴P(2，1)　　(6分) 　　②当时，△APM∽△CAO，即2(4－m)＝－m2＋m－2， 　　解得m1＝4，m2＝5(均不合题意，舍去)． 　　∴当1＜m＜4时，P(2，1)，　　(7分) 　　类似地可求出当m＞4时，P(5，－2)．(8分) 　　当m＜1时，P(－3，－14)． 　　综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)　　(9分) 　　(3)如图，设D点的横坐标为t(0＜t＜4)，则D点的纵坐标为－t2＋t－2 　　过D作y轴的平行线交AC于E． 　　由题意可求得直线AC的解析式为y＝x－2　　(10分) 　　∴E点的坐标为(t，t－2)． 　　∴DE＝－t2＋t－2－(t－2)＝－t2＋2t　　(11分) 　　∴S△DAC＝×(－t2＋2t)×4＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4． 　　∴当t＝2时，△DAC面积最大． 　　∴D(2，1)．　　(13分)