Question

已知梯形ABCD中，∠B＋∠C=90°，E，F是两底中点的连线．求证．

Answer 1

答案：略
解析：

证法1：如图所示，延长BA，CD交于G，连接GE，CF． ∵∠B＋∠C=90°，∴∠BGC=90°． ∵E，F分别为AD，BC的中点， ∴GE=AE，，GF=BF，， ∴∠AGE=∠GAE，∠BGF=∠B． ∵AD∥BC，∴∠GAE=∠B． ∴AGE=∠BGF，∴GE，GF重合． ∴． 证法2：如图所示，过点E作EM∥AB，交BC于M，作EN∥DC，交BC于N． ∴∠1=∠B，∠2=∠C． ∵∠B＋∠C=90°，∴∠1＋∠2=90°，∴∠MEN=90°． ∵AD∥BC，∴BM=AE，CN=ED． ∵E，F分别为AD，BC的中点， ∴BM=AE=ED=CN，BF=FC，∴MF=FN． ∴． 证法3：如图所示，过D作DM∥AB交于BC于M，取MC中点N，连接DN，则∠DMC=∠B． ∵AD∥BC，∴BM=AD，∴CM=BC－BM=BC－AD． ∵∠B＋∠C=90°，∴∠DMC＋∠C=90°， ∴∠MDC=90°，∴． ∵F，N分别为BC，MC中点， ∴． ∴四边形EFND是平行四边形． ∴．