Question

如图：在△ABC中，∠A=α，△ABC的内角或外角平分线交于点P，且∠P=β，试探求图1，2，3中α与β的关系，并选择你认为最有把握又最喜欢的一个加以说明．

Answer 1

分析：（1）可以把∠A=α，作为已知，求∠P即可．根据三角形内角和定理以及外角的性质即可求解；
（2）（3）解法相同．

解答：解：（1）β=90°+

1

2

α；（2）β=

1

2

α；（3）β=90°-

1

2

α．
下面选择（1）进行证明．
在图（1）中，根据三角形内角和定理可得：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
∵BP与CP是△ABC的角平分线，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCB=

1

2

∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=90°-

1

2

α．
在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PCB+∠PCB）=180°-（90°-

1

2

α）=90°+

1

2

α．
∴β=90°+

1

2

α．解：图（2），结论：∠BPC=

1

2

∠A．
证明如下：
∠P=∠1-∠2=

1

2

（∠ACD-∠ABC）=

1

2

∠A．
∴β=

1

2

α；
（3）∵BP、CP分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，
∴∠CBP=

1

2

（∠A+∠ACB），∠BCP=

1

2

（∠A+∠ABC），
∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠A-

1

2

（∠ABC+∠ACB），
∴∠P与∠A的关系是：∠P=180°-∠A-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=90°-

1

2

α．

点评：本题主要考查了三角形的内角和定理以及三角形的角平分线的定义．