Question

如图，在直角坐标系中，点P的坐标是（n，0）（n＞0），抛物线y=-x²+bx+c经过原点O和点P，已知正方形ABCD的三个顶点为A（2，2），B（3，2），D（2，3）。

（1）求c，b并写出抛物线对称轴及y的最大值（用含有n的代数式表示）；
（2）求证：抛物线的顶点在函数y=x²的图象上；
（3）若抛物线与直线AD交于点N，求n为何值时，△NPO的面积为1；
（4）若抛物线经过正方形区域ABCD（含边界），请直接写出n的取值范围。
[参考公式：y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是]

Answer 1

解：（1）把x=0，y=0代入y=-x²+bx+c，得c=0，
再把x=n，y=0代入y=-x²+bx，
得-n²+bn=0，
∵n＞0，
∴b=n，
∴y=-x²+nx，
由顶点坐标公式及a=-1＜0，得
抛物线对称轴为直线x=，y的最大值为；
（2）∵抛物线顶点为，把x=代入y=x²=，
∴抛物线的顶点在函数y=x²的图象上；
（3）当x=2时，y=2n-4，
∴点N为（2，2n-4），
当n=2时，P、N两点重合，△NPO不存在，
当n＞2时，解n（2n-4）=1，得n=1±，
∵n＞2，
∴n=1+，
当0＜n＜2时，解n（4-2n）=1，得n₁=n₂=1，
∴n=1+或n=1时，△NPO的面积为1；
（4）3≤n≤4。