Question

（10分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB．

1.（1）试说明：PB是⊙O的切线；

2.（2）已知⊙O的半径为，AB＝2，求PA的长．

 

Answer 1

【答案】

 

1.解：（1）连接OB，OP,交AB于点D

∵⊙O是Rt△ABC的外接圆，

∴AC是⊙O的直径．……1分

又∵PA与⊙O相切，∴∠OAP＝90°……2分

∵OA＝OB，PA＝PB，OP＝OP

∴△OAP≌△OBP……4分

∴∠OBP＝∠OAP＝90°，即OB⊥BP.

又∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线. ……5分

2.(2) ∵∠ABC＝∠OBP ＝90°, ∴∠OBC＝∠ABP

又∵OC＝OB，PA＝PB, ∴∠OCB＝∠OBC＝∠ABP＝∠BAP∴△OCP∽△PAB……6分

∴  即……7分

而在Rt△ABC中, AB＝2,AC＝2∴BC＝2……8分

∴PA＝……9分

【解析】略