Question

如图，在平面直角坐标系中，A（-1，0），B（4，0），C（0，2），连接AC、BC．
（1）试说明：∠ACB=90°；
（2）在第一象限内是否存在点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据A，B，C的坐标得出

CO

BO

=

AO

CO

=

1

2

，进而得出△AOC∽△COB，即可得出∠ACB=90°；
（2）分别根据：①当△P₁CB∽△OCA时，②当△P₂CB∽△ACO时，③当△P₃CB∽△AOC时，④当△P₄CB∽△OAC时，利用相似三角形的判定与性质以及勾股定理求出即可．

解答：（1）证明：如图1，
∵A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴CO=2，AO=1，BO=4，
∴

CO

BO

=

AO

CO

=

1

2

，
∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠1=∠OBC，
∴∠1+∠2=90°，
即∠ACB=90°；

（2）解：①当△P₁CB∽△OCA时，
∴∠P₁CB=∠ACO，∠P₁BC=∠CAO，
∴P₁C∥BO，P₁B∥CO，
∴四边形P₁BOC是平行四边形，
又∵∠COB=90°，
∴平行四边形P₁BOC是矩形，
∴P₁B=CO=2，P₁C=BO=4，
∴P₁点坐标为：（4，2），
②过点P₂，作P₂D⊥BO于点D，
当△P₂CB∽△ACO时，
∴

P2B

AO

=

BC

CO

，
∵AO=1，CO=2，BC=

22+42

=2

5

，
∴

P2B

1

=

2 5

2

，
解得：P₂B=

5

，
∵∠CBP₂=90°，
∴∠CBO+∠P₂BD=90°，
∵∠BP₂D+∠P₂BD=90°，
∴∠CBO=∠BP₂D，
∵∠COB=∠BDP₂，
∴△COB∽△BDP₂，
∴△AOC∽△BDP₂，
∴

BD

P2D

=

AO

CO

=

1

2

，
设BD=x，则DP ₂=2x，
∴x ²+（2x） ²=（

5

） ²，
解得：x=1，
∴BD=1，DP ₂=2，
∴P₂点坐标为：（5，2），
③当△P₃CB∽△AOC时，
由②同理即可得出：P₃点坐标为：（1，4），
④过点P₄，作P₄M⊥CO于点M，P₄N⊥BO于点N，
当△P₄CB∽△OAC时，
∴

P4C

AO

=

BC

AC

，
∴

P4C

1

=

2 5

5

，
∴P₄C=2，
则P₄B=4，
设P₄的坐标为：（x，y），
∴MC=y-2，P₄M=x，BN=4-x，P₄N=y，
∴

(y-2)2+x2=4 y2+(4-x)2=16

，
可得y=2x，
∴（2x）²+（4-x）²=16，
解得：x=

8

5

或x=0（不合题意舍去），
故y=

16

5

，
P₄的坐标为：（

8

5

，

16

5

），
⑤当△AOC∽△BCP₅时，P5的坐标是：（4，10）；
⑥当△AOC∽△P6BC，时，P6的坐标是：（8，8）；
综上所述P点坐标为：（4，2），（5，2），（1，4），（

8

5

，

16

5

）（4，10）（8，8）．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．