练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    有两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角边长均为6）如图1所示叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点顺时针旋转，旋转角α满足0＜α°＜90°，四边形CHGK是旋转过程中两块三角板的重叠部分（如图2）．
    （1）在上述旋转过程中，①BH与CK有怎样的数量关系？②四边形CHGK的面积是否发生变化？并证明你发现的结论．
    （2）如图3，连接KH，在上述旋转过程中，是否存在某一位置使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的
    518
    ？若存在，请求出此时KC的长度；若不存在，请说明理由．
    精英家教网
    分析：（1）利用旋转的性质，图形的形状和大小不变，可以得到角的度数没有变化，进一步可以得到∠BGH=∠CGK，得证△BGH≌△CGK，则全等三角形的对应边相等；全等三角形的性质得到：全等三角形的面积相等，则四边形CHGK的面积等于△BGC的面积，所以四边形CHGK的面积不变；
    （2）根据面积公式得出S△GHK=S四边形CKGH-S△CKH=
    1
    2
    x2-3x+9，根据△GKH的面积恰好等于△ABC面积的
    5
    18
    ，代入得出方程
    1
    2
    x2-3x+9=
    5
    18
    ×
    1
    2
    ×6×6，求出即可．
    解答：精英家教网解：（1）①在上述旋转过程中，BH=CK．理由如下：
    如图1，∵△ABC为等腰直角三角形，G（O）为其斜边中点，
    ∴CG=BG，CG⊥AB，且S△BCG=
    1
    2
    S△ABC．
    如图2，连接CG．
    ∵∠ACG=∠B=45°，∠BGH与∠CGK均为旋转角，
    ∴∠BGH=∠CGK．
    ∵在△BGH和△CGK中，
    ∠B=∠ACG=45°
    BG=CG
    ∠BGH=∠CGK

    ∴△BGH≌△CGK（ASA）．
    ∴BH=CK；
    ②在上述旋转过程中，四边形CHGK的面积不变．理由如下：
    由①知，△BGH≌△CGK．则S△BGH=S△CGK．
    ∴S四边形CHGK=S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH=S△BCG=
    1
    2
    S△ABC=
    1
    2
    ×
    1
    2
    ×6×6=9．
    即：旋转过程中，BH=CK，S四边形CHGK的面积为9，是一个定值，在旋转过程中没有变化；

    （2）假设存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的
    5
    18
    的位置．
    如图3，设BH=x，由题意及（1）中结论可得，CK=BH=x，CH=CB-BH=6-x，
    ∴S△CHK=
    1
    2
    CH×CK=3x-
    1
    2
    x2，
    ∴S△GHK=S四边形CKGH-S△CKH=9-（3x-
    1
    2
    x2）=
    1
    2
    x2-3x+9，
    ∵△GKH的面积恰好等于△ABC面积的
    5
    18
    ，
    ∴
    1
    2
    x2-3x+9=
    5
    18
    ×
    1
    2
    ×6×6，
    解得x1=2，x2=4（经检验，均符合题意）．            
    ∴存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的
    5
    8
    的位置，此时x的值为2或4．
    点评：本题考查了旋转的性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，但是一道比较好的题目
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    6、如图，△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠F=90°，BC分别与AF，AG相交于点D，E．则图中不全等的相似三角形有（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    17、用两个全等的等腰直角三角形拼下列图形：①等腰三角形；②等边三角形；③正方形；④等腰梯形．一定可以拼成的图形有（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2013届福建仙游高峰初级中学九年级上学期期中考试数学试题（带解析） 题型：解答题

    有两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG其直角边长均为6（如图1所示）叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点顺时针旋转，旋转角满足0＜º＜90º，四边形CHGK是旋转过程中两块三角板的重叠部分（如图2）．

    （1）在上述旋转过程中，①BH与CK有怎样的数量关系？②四边形CHGK的面积是否发生变化？并证明你发现的结论．
    （2）如图，连接KH，在上述旋转过程中，是否存在某一位置使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，请求出此时KC的长度；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2012-2013学年福建仙游高峰初级中学九年级上学期期中考试数学试题（解析版） 题型：解答题

    有两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG其直角边长均为6（如图1所示）叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点顺时针旋转，旋转角满足0＜º＜90º，四边形CHGK是旋转过程中两块三角板的重叠部分（如图2）．

    （1）在上述旋转过程中，①BH与CK有怎样的数量关系？②四边形CHGK的面积是否发生变化？并证明你发现的结论．

    （2）如图，连接KH，在上述旋转过程中，是否存在某一位置使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，请求出此时KC的长度；若不存在，请说明理由．

     

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案