Question

下图，在△ABC中，∠＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．

(1)求证：AE＝BC；

(2)上图(2)，过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜144°)得到，连结，，求证：；

(3)在(2)的旋转过程中是否存在∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存

在，请说明理由

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证明：∵AB＝AC，∠＝36°， 　　∴∠ABC＝∠C＝72°，　1分 　　又BE平分∠ABC， 　　∴∠ABE＝∠CBE＝36°， 　　∴∠BEC＝180°―∠C―∠CBE＝72° 　　∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C， 　　∴AE＝BE，BE＝BC， 　　∴AE＝BC．　3分 　　(2)∵AC＝AB且EF∥BC，∴AE＝AF； 　　由旋转的性质可知：，， 　　∴≌， 　　∴．　6分 　　(3)存在∥AB， 　　由(1)可知AE＝BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，如图． 　　①当点E的像与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形， 　　∴∠BAM＝∠ABC＝72°，又∠BAC＝36°， 　　∴α＝∠CAM＝36°．　8分 　　②当点E的像与点N重合时， 　　由AB∥l得，∠AMN＝∠BAM＝72°， 　　∵AM＝AN， 　　∴∠ANM＝∠AMN＝72°， 　　∴∠MAN＝180°－2×72°＝36°， 　　∴α＝∠CAN＝∠CAM＋∠MAN＝72°． 　　所以，当旋转角为36°或72°时，∥AB．　10分