Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF。

（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由。

Answer 1

解：（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t，又∵AE=t，∴AE=DF；
（2）能；理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，又AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AB=BC·tan30°==5，
∴AC=2，AB=10，
∴AD=AC-DC=10-2t，
若使为菱形，则需AE=AD，即t=10-2t，t=，
即当t=时，四边形AEFD为菱形；
（3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE，即10-2t=2t，t=；
②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°，
∵∠A=90°-∠C=60°，
∴AD=AE·cos60°，即10-2t=t，t=4；
③∠EFD=90°时，此种情况不存在；
综上所述，当或4时，△DEF为直角三角形。