Question

(2005·海南)如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H．

(1)求证：①△BCG≌△DCE，②BH⊥DE．

(2)当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由．

　

Answer 1

答案：略
解析：

(1)证明　①∵四边形ABCD和四边形GCEF均为正方形　∴BC=DC，CG=CE，∠BCG=∠DCE=，∴△BCG≌△DCE 　　②∵△BCG≌△DCE　∴∠GBC=∠EDC．又∵∠EDC＋CED＝， 　　∴∠GBC＋∠CED=，∴∠BHE=，即BH⊥DE． (2)解　如图所示 连接BD，由(1)知BH⊥DE，要使BH垂直平分DE，则必满足条件BD=BE． 　　∵四边形ABCD是边长为1的正方形 　　∴BE=BD=　又∵四边形GCEF是正方形，∴GC=CE=BE－BC=． 　　即当CG=时，BH垂直平分DE．