Question

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

Answer 1

解：（1）如图①， 设正方形BEFG的边长为x， 则BE=FG=BG=x ∵AB=3，BC=6， ∴AG=AB﹣BG=3﹣x， ∵GF∥BE， ∴△AGF∽△ABC， ∴， 即， 解得：x=2， 即BE=2； （2）存在满足条件的t， 理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H， 则BH=AD=2，DH=AB=3， 由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t， 在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B?E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8， ∵EF∥AB， ∴△MEC∽△ABC， ∴，即， ∴ME=2﹣t， 在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，过点M作MN⊥DH于N， 则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t， ∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1， 在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1 （Ⅰ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2， 即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13）， 解得：t=， （Ⅱ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2， 即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1）， 解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去）， ∴t=﹣3+； （Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2， 即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1）， 此方程无解， 综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形； （3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH， 即2：3=CE：4， ∴CE=， ∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=， ∵ME=2﹣t， ∴FM=t， 当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2， ②当G在AC上时，t=2， ∵EK=ECtan∠DCB=EC=（4﹣t）=3﹣t， ∴FK=2﹣EK=t﹣1， ∵NL=AD=， ∴FL=t﹣， ∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+t﹣； ③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH， 即B′C：4=2：3， 解得：B′C=， ∴EC=4﹣t=B′C﹣2=， ∴t=， ∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t， ∴GN=GB′﹣B′N=t﹣1， ∴当2＜t≤时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+2t﹣， ④如图⑥，当＜t≤4时， ∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），B′N=B?C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t）， S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=﹣t+． 综上所述： 当0≤t≤时，S=t2， 当＜t≤2时，S=﹣t2+t﹣；当2＜t≤时，S=﹣t2+2t﹣， 当＜t≤4时，S=﹣t+．