Question

如图所示，正三角形ABC的中心O恰好为扇形ODE的圆心，且点B在扇形内．要使扇形ODE绕点O无论怎样转动，△ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC的面积的，扇形的圆心角应为    °.想想为什么.

Answer 1

答案：120
解析：

解：当扇形的圆心角为120°时，△ABC与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC的面积的．证明如下： (1)当扇形的圆心角与正三角形的中心角重合时，显然，△ABC与扇形重叠部分的面积等于△ABC的面积的． (2)当扇形的圆心角与正三角形的中心角不重合时，连接OA、OB，设OD交AB于F，OE交BC于G． ∵O是正三角形的中心，∴OA=OB，∠OAF=∠OBG，∠AOB=120°． ∴∠AOF=120°－∠BOF，∠BOG=120°－∠BOF，∠AOF=∠BOC． ∴△AOF≌△BOG． 即． 即△ABC与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC的面积的． 同理可证，当扇形ODE旋转至其他位置时，结论仍成立． 由(1)(2)可知，当扇形的圆心角为120°时，△ABC与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC的面积的．