Question

已知：边长为的正三角形内接于⊙O．(1)如图(a)，若M是⊙O上一点，且tan∠ABM＝，求AM的长，(2)如图(b)，设P是⊙O上任意一点，P到A、B、C三点的距离分别为x、y、z．求证：(x＋y－z)(y＋z－x)(x＋z－y)＝0．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：(见答图(a)) 　　作直径AD交BC于E，分别连结MD、BD． 　　∴∠ADM＝∠ABM， 　　∠AMD＝＝∠ABD． 　　∴tan∠ADM＝＝tan∠ABM＝． 　　∵△ABC是正三角形，且边长为， 　　∴AB＝AC＝，∠BAC＝． 　　∴＝． 　　∴AD⊥BC．∴∠1＝∠BAC＝． 　　∴AD＝＝＝2． 　　设AM＝x，则MD＝3x． 　　∵AD2＝MD2＋AM2， 　　∴22＝(3x)2＋x2． 　　解得x＝或x＝－(不合题意，舍去)． 　　∴AM＝． 　　(2)证明：(见答图(b)) 　　不妨设P在上，在PC上截取PF＝PB，连结BF． 　　∵△ABC为正三角形， 　　∴AB＝BC，∠2＝∠ABC＝． 　　∴∠3＝∠2＝． 　　∴△PBF是等边三角形． 　　∴∠PBF＝＝∠ABC，PB＝FB． 　　∴∠PBF－∠ABF＝∠ABC－∠ABF， 　　即∠4＝∠5． 　　∴△APB≌△CFB． 　　∴PA＝FC，即PA＝PC－PB． 　　∴x＋y－z＝0． 　　∴(x＋y－z)(y＋z－x)(x＋z－y)＝0．