Question

如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上，直线CB的表达式为y=-，点A、D的坐标分别为（-4，0），（0，4），动点P自A点出发，在AB上匀速运行，动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）。
（1）求出点B、C的坐标；
（2）求s随t变化的函数关系式；
（3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值。

Answer 1

解：（1）把y=4代入y=，得x=1， ∴C点的坐标为（1，4）， 当y=0时，-=0， ∴x=4， ∴点B坐标为（4，0）；
（2）作CM⊥AB于M，则CM=4，BM=3， ∴BC==5， ∴sin∠ABC=， ① 当0＜t＜4时，作QN⊥OB于N， 则QN=BQ·sin∠ABC=t， ∴S=OP·QN=（4-t）×t =-（0＜t＜4）； ② 当4＜t≤5时，（如备用图1），连接QO，QP，作QN⊥OB于N， 同理可得QN=t， ∴S= =（4＜t≤5）； ③ 当5＜t≤6时，（如备用图2），连接QO，QP， S= =2t-8（5＜t≤6）， 综上所述，s随t变化的函数关系式为S=；
（3）①在0＜t＜4时，对于抛物线S =-， ∵-＜0， ∴有最大值， ∴当t==2时，S最大=； ②在4＜t≤5时，对于抛物线S=， 当t==2时，S最小=， ∴抛物线S=的顶点为（2，-）， ∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大， ∴当t=5时，S最大==2； ③在5＜t≤6时，对于直线S=2t-8， ∵2＞0， ∴S随t的增大而增大， ∴当t=6时，S最大=2×6-8=4， ∴综上所述，当t=6时，S取得最大值，最大值是4。