Question

（2013年四川自贡14分）如图，已知抛物线y=ax²+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；

（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）如答图1，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=3，OE=2。

∵，∴BE=6。

∴OB=BE﹣OE=4。∴B（﹣4，0）。

∵点B（﹣4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax²+bx﹣2（a≠0）上，

∴，解得。

∴抛物线的解析式为：。

（2）在抛物线中，

令x=0，得y=﹣2，∴C（0，﹣2）。

令y=0，得x=﹣4或1，∴A（1，0）。

设点M坐标为（m，n）（m＜0，n＜0）。

如答图1，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=﹣n，OF=﹣m，BF=4+m。

∵点M（m，n）在抛物线上，∴，代入上式得：

，

∴当m=﹣2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9。

（3）假设存在这样的⊙Q，

如答图2所示，设直线x=﹣2与x轴交于点G，与直线AC交于点F

设直线AC的解析式为y=kx+b，

将A（1，0）、C（0，﹣2）代入得：

，解得：。

∴直线AC解析式为：y=2x﹣2。

令x=﹣2，得y=﹣6，∴F（﹣2，﹣6），GF=6。

在Rt△AGF中，由勾股定理得：

。

设Q（﹣2，q），则在Rt△AGF中，由勾股定理得：

。

设⊙Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=。

在Rt△AGF与Rt△QEF中，

∵∠AGF=∠QEF=90°，∠AFG=∠QFE，∴Rt△AGF∽Rt△QEF。

∴，即。

化简得：，解得q=4或q=﹣1。

∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）。

【解析】（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式。

（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值。

（3）如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标。

考点：二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，由实际问题列函数关系式，二次函数最值，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆的切线性质。