Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c经过点A（1，0）和B（0，5），
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）抛物线与x轴的另一交点为C，在直线CB上是否存在一点P，使四边形PDCO为梯形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线中进行求解即可．
（2）本题要分两种情况进行讨论：
①当CO∥DP时，先求出直线BC的解析式，然后将D点纵坐标代入直线BC中即可求出P点坐标，然后判断DP是否与OC相等即可，如果OC≠DP，则四边形PDCO不是梯形而是平行四边形，如果OC≠DP，则四边形PDCO是梯形．
②当OP∥CD时，P点为直线OP与直线BC的交点，可根据直线CD的解析式求出直线OP的解析式，然后联立直线OP和直线BC的解析式即可求出P点的坐标，后面同①．

解答：解：（1）根据题意，得

0=-1+b+c 5=c

．
解得

b=-4 c=5

．
∴抛物线的解析式为y=-x²-4x+5，
由顶点D的坐标为（-2，9）．

（2）由抛物线的解析式为y=-x²-4x+5，
可得C点的坐标为（-5，0）
∵B点的坐标为（0，5），
∴直线CB的解析式为y=x+5．
i：当OP∥CD，且OP≠CD时，四边形PDCO为梯形．
∵直线CD的解析式为y=3x+5，OP∥CD，
∴直线OP的解析式为y=3x．
根据题意，得

y=3x y=x+5

，
解得

x= 5 2 y= 15 2

．
∴点P（

5

2

，

15

2

）．
∵OP=

5 10

2

，CD=3

10

，
∴OP≠CD，点P（

5

2

，

15

2

）即为所求；
ii：当DP∥CO，且DP≠CO时，四边形PDCO为梯形，
根据题意

y=9 y=x+5

，
解得

x=4 y=9

∴点P（4，9），
∵OC=5，DP=6
∴OC≠DP
∴点P（4，9）为所求．
综上所述，P点的坐标为（

5

2

，

15

2

）或（4，9）．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点以及梯形的判定等知识点的运用．