Question

已知：正方形ABCD，以A为旋转中心，旋转AD至AP，连接BP、DP．
（1）若将AD顺时针旋转30°至AP，如图3所示，求∠BPD的度数？
（2）若将AD顺时针旋转α度（0°＜α＜90°）至AP，求∠BPD的度数？
（3）若将AD逆时针旋转α度（0°＜α＜180°）至AP，请分别求出0°＜α＜90°、α=90°、90°＜α＜180°三种情况下的∠BPD的度数（图4、图5、图6）．

Answer 1

分析：（1）利用旋转的性质可以判定△ABP是等边三角形后即可得到∠APB=60°，进而可以求得∠BPD的度数；
（2）利用上题证得的结论即可得到∠ABP+∠BPA+∠APD+∠ADP=270°．从而可以得到∠BPD=∠BPA+∠APD=

1

2

×270°=135°．
（3）分①当0°＜α＜90°时、②当α=90°时、③当90°＜α＜180°时三种情况讨论，证明的方法同（2）．

解答：解：（1）∵AD=AP，∴∠APD=∠ADP．
∵∠DAP=30°，
∴∠APD=∠ADP=

1

2

（180°-∠DAP）=

1

2

（180°-30°）=75°．（1分）
∵∠DAP=30°，
∴∠BAP=90°-∠DAP=60°．（1分）
又∵AB=AD=AP，∴△ABP是等边三角形．
∴∠APB=60°．
∴∠BPD=∠BPA+∠APD=60°+75°=135°．（1分）
说明：其他方法，可参照得分．

（2）∵∠ABP+∠BPD+∠ADP+∠DAB=360°，（1分）∠DAB=90°，
∴∠ABP+∠BPD+∠ADP=270°，
即∠ABP+∠BPA+∠APD+∠ADP=270°．
∵AD=AP，∴∠APD=∠ADP．
∵AB=AD=AP，∴∠ABP=∠APB．
∴∠BPD=∠BPA+∠APD=

1

2

×270°=135°．（1分）
说明：其他方法请参照评分．

（3）①当0°＜α＜90°时，如图2
∵AD=AP，∠DAP=α
∴∠APD=∠ADP=

1

2

(180°-α)=90°-

1

2

α．
∵AB=AD=AP，∠BAP=90°+α，
∴∠ABP=∠APB=

1

2

[180°-(90°+α)]=45°-

1

2

α．
∴∠BPD=∠APD-∠APB=(90°-

1

2

α)-(45°-

1

2

α)=45°．（2分）
②当α=90°时，如图3，
∵∠BAD+∠DAP=180°，
∴点B、A、P在同一直线上．
∴∠BPD=∠APD=

1

2

（180°-90°）=45°．（1分）
③当90°＜α＜180°时，如图4．
∵∠APD=

1

2

(180°-α)=90°-

1

2

α．∠BAP=[360°-90°-α]=270°-α．∠BPA=

1

2

[180°-(270°-α)]=

1

2

α-45°．
∴∠BPD=∠BPA+∠DPA=90°-

1

2

α+

1

2

α-45°=45°．（2分）
说明：其他方法请参照评分．

点评：此题主要考查了正方形的性质、图形的旋转变化、全等三角形及相似三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法等知识的综合应用能力，难度较大．