Question

如图，已知A（-1，0），E（0，-），以点A为圆心，以AO长为半径的圆交x轴于另一点B，过点B作BF∥AE交⊙A于点F，直线FE交x轴于点C。
（1）求证：直线FC是⊙A的切线；
（2）求点C的坐标及直线FC的解析式；
（3）有一个半径与⊙A的半径相等，且圆心在x轴上运动的⊙P，若⊙P与直线FC相交于M，N两点，是否存在这样的点P，使△PMN是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）连接AF， ∵AE∥BF， ∴∠1=∠3，∠4=∠2， 又∵AB=AF， ∴∠3=∠4， ∴∠1=∠2， 又∵AO=AF，AE=AE， ∴△AOE≌△AFE， ∴∠AFE=∠AOE=90°， ∴FC是⊙O的切线； （2）由（1）知EF=OE=， ∵AE∥BF， ∴， ∴， ∴①； 又∵OE2+OC2=CE2， ∴②； 由①②解得OC=0（舍去）或OC=2， ∴C（2，0）， ∵直线FC经过E（0，-），C（2，0）两点， 设FC的解析式：y=kx+b， ∴，解得， ∴直线FC的解析式为y=； （3）存在：当点P在点C左侧时，若∠MPN=90°，过点P作PE⊥MN于点E， ∵∠MPN=90°，PM=PN， ∴PH=PM×cos45°=， ∵AF⊥FC， ∴PE∥AF， ∴△CPE∽△CAF， ∴， ∴， ∴CP=， ∴PO=-2， ∴P（2-，0）， 当点P在点C右侧P′时，设∠M′P′N′=90°，过点P′作P′Q⊥M′N′于点Q，则P′Q=， ∴P′Q=PE，可知P′与P关于点C中心对称，根据对称性得： ∴OP′=OC+CP′=2+， ∴P′（2+，0）， ∴存在这样的点P，使得△PMN为直角三角形，P点坐标（2-，0）或（2+，0）。