Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，点D是BC边的中点．点P从点B出发，以acm/s(a＞0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts．
(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；
(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．①若a＝，求PQ的长；②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中点，
∴BD=CD= BC=6cm，
∵a=2，
∴BP=2tcm，DQ=tcm，
∴BQ=BD-QD=6-t（cm），
∵△BPQ∽△BDA，
∴BP：BD =BQ： AB ，
即 = ，解得：t=
（2）①过点P作PE⊥BC于E，
∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM
∴PB：AB=CM：AC，
∵AB=AC，
∴PB=CM，
∴PB=PQ，
∴BE=BQ= （6-t）cm，
∵a= ，
∴PB=5 2 tcm，
∵AD⊥BC，
∴PE∥AD，
∴PB：AB=BE：BD，
即t：10 = (6-t) ：6 ，
解得：t= ，
∴PQ=PB= t= （cm）；
②不存在．理由如下：
∵四边形PQCM为平行四边形，
∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，
∴PB：AB=CM：AC，
∵AB=AC，∴PB=CM，
∴PB=PQ． 若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，
∵PM∥CQ，
∴∠PCQ=∠CPM，
∴∠CPM=∠PCM，
∴PM=CM，
∴四边形PQCM是菱形，
∴PQ=CQ∴PB=CQ，
∵PB=atcm，CQ=BD+QD=6+t（cm），
∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB-PB=10-at（cm），
即at=6+t①， ∵PM∥CQ，
∴PM：BC=AP：AB，
∴= ，
化简得：6at+5t=30②，
把①代入②得，t=- ，
∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上．