如图.以△ABC的边BC为弦.在点A的同侧画BC交AB于D.且∠BDC=90°+12∠A.点P是BC上的一个动点．(1)判定△ADC的形状.并说明理由,(2)若∠A=70°.当点P运动到∠PBA=∠PBC=15°时.求∠ACB和∠ACP的度数．(3)当点P在BC上运动时.过点P画直线MN⊥AP.分别交AB.AC于点M.N.是否存在这样的点P.使得△BMP和△BPC和△CPN� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，以△ABC的边BC为弦，在点A的同侧画

交AB于D，且∠BDC=90°+

∠A，点P是

上的一个动点．
（1）判定△ADC的形状，并说明理由；
（2）若∠A=70°，当点P运动到∠PBA=∠PBC=15°时，求∠ACB和∠ACP的度数．
（3）当点P在

上运动时，过点P画直线MN⊥AP，分别交AB、AC于点M、N，是否存在这样的点P，使得△BMP和△BPC和△CPN彼此相似？请说明理由．

分析：（1）根据三角形的内角和为180°与邻补角的性质，即可求得∠ACD=∠ADC，又由等角对等边，即可求得△ADC是等腰三角形；
（2）利用三角形的内角和定理，可得∠ACB=80°，根据已知即可求得∠BPC=∠BDC=125°，然后可得∠PCB与∠ACP的度数；
（3）由当点P运动至

的中点时，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似，可得∠ABP=∠CBP，即可设∠A=x度，∠ABP=∠CBP=y度，利用方程表达可得∠PCB=∠ACP，即可得到∠BMP=∠CNP=90+

=∠BPC，问题得证．

解答：解：（1）∵△ADC是等腰三角形．
∵∠BDC=90°+

∠A

，
∴∠ADC=90°-

∠A

，
∴∠ACD=90°+

∠A

-∠A=90°-

∠A

，
∴∠ACD=∠ADC，
∴△ADC是等腰三角形．

（2）∵∠A=70°，∠PBA=∠PBC=15°，
∴∠ACB=180°-70°-2×15°=80°，
∵∠BPC=∠BDC=90°+

70°

=125°，
∴∠PCB=180°-15°-125°=40°，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=80°-40°=40°．
答：∠ACB为80°，∠ACP为40°．

（3）当点P运动至

的中点时，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．
∵P运动至

的中点，
∴∠ABP=∠CBP，
设∠A=x度，∠ABP=∠CBP=y度，
∴∠PCB=180-y-（90+

）=90-y-

，
∵∠ACB=180-x-2y，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=（180-x-2y）-（90-y-

）=90-y-

，
∴∠PCB=∠ACP，
∴PC平分∠ACB．
∴当点P运动至

的中点时，点P是△ABC的角平分线的交点．
∴AP平分∠BAC．
∴∠BMP=∠CNP=90+

=∠BPC，
∴△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．

点评：本题考查了三角形内角和定理，邻补角的性质以及相似三角形的判定与性质．解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．

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