Question

函数f（x）=x²+mx+m（a，b∈R）的定义域为[-1，1]，且|f（x）|的最大值为M．
（1）证明：|1+m|≤M；
（2）求M的最小值，并求出当M取最小值时函数f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据f（x）=x²+mx+m（a，b∈R）的定义域为[-1，1]，且|f（x）|的最大值为M，得出|f（-1）|=|1-m+m|≤M，|f（1）|=|1+m+m|≤M，进而得出|2+2m|≤2M，即可得出答案；
（2）利用f（0）=m，|f（0）|=|m|≤M，即可得出|（1+m）-m|≤|1+m|+|m|≤2M，再利用M取最小值求出函数f（x）的解析式．
解答：解：（1）证明：由已知：|f（-1）|=|1-m+m|≤M，|f（1）|=|1+m+m|≤M，
由公式：|（1-m+m）+（1+m+m）|≤|1-m+m|+|1+m+m|，
所以|2+2m|≤2M，
|1+m|≤M；
（2）∵f（0）=m，|f（0）|=|m|≤M，
∴|（1+m）-m|≤|1+m|+|m|≤2M，
∴M≥．
∴M的最小值为，
根据题意得出：1-m+m=，1+m+m=，
解得：，
∴M取最小值时，函数f（x）的解析式为：y=x²-．
点评：此题主要考查了函数定义域的性质，利用不等式的性质得出|（1-m+m）+（1+m+m）|≤|1-m+m|+|1+m+m|是解决问题的关键．