Question

附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．
（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；
（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；
（3）求△BEC与△BEA的面积之比．

Answer 1

解：（1）AD=DE，AE=CE． ∵CE⊥BD，∠BDC=60°， ∴在Rt△CED中，∠ECD=30°． ∴CD=2ED． ∵CD=2DA， ∴AD=DE； ∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD． ∴AE=CE； （2）图中有三角形相似，△ADE∽△AEC； ∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC， ∴△ADE∽△AEC； （3）作AF⊥BD的延长线于F，设AD=DE=x， 在Rt△CED中，可得CE=， 故AE=，∠ECD=30°． 在Rt△AEF中，AE=， ∠AED=∠DAE=30°， ∴sin∠AEF= ， ∴AF=AE·sin∠AEF=． ∴．