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    如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点A的坐标为（3,15），且过点（－2，10），对称轴AB交轴于点B，点E是线段AB上一动点，以EB为边在对称轴右侧作矩形EBCD，使得点D恰好落在抛物线上，点D′是点D关于直线EC的轴对称点.

    （1）求抛物线的解析式；

    （2）若点D′恰好落在轴上的点（0，6）时，求此时D点的坐标；

    （3）直线CD′交对称轴AB于点F,

    ①当点D′在对称轴AB的左侧时，且△ED′F∽△CDE，求出DE:DC的值；

    ②连结B D′，是否存在点E，使△E D′B为等腰三角形？若存在，请直接写出BE:BC的值，若不存在请说明理由.

     

    【答案】

    （1）;（2）(8,10); （3）①;②.

    【解析】

    试题分析：（1）由已知,应用待定系数法设顶点式求解;

    （2）根据勾股定理和轴对称的性质列方程组求解;

    （3）①由勾股定理和相似三角形的性质列式求解;

    ②由①可知△ED′F≌△CBF时, D′F=BF,从而得出结论.

    试题解析：（1）∵抛物线的顶点A的坐标为（3,15），

    ∴可设抛物线的解析式为.

    ∵抛物线过点（－2，10）, ∴.解得.

    ∴抛物线的解析式为,即.

    （2）设D(x,ｙ),则E(3, ｙ), DE=x-3, DC=ｙ.

    由D′（0，6）,根据勾股定理,得: D′C=, D′E=,

    根据轴对称的性质,有D′C=DC, D′E= DE,即,解得.

    ∴此时D点的坐标为(8,10).

    （3）①易证△ED′F≌△CBF,则D′F=BF.

    设D′C=DC=a,D′E=DE=b,D′F=BF=c,

    在Rt△CBF中,由勾股定理,得:CF2=BF2+D′C2,即(D′C- D′F)2=BF2+D′C2.

    ∴,整理,得.

    ∵△ED′F∽△CDE，∴,即,即,即,即.

    ∴DE:DC=.

    ②存在,由①可知BE:BC=.

    考点：1.动点问题;2.二次函数的性质;3. 勾股定理;4. 轴对称的性质;5.全等和相似三角形的判定和性质.

     

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    BD
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