Question

如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：

①∠BAD＝∠ABC；

②GP＝GD；

③点P是△ACQ的外心；

④AP·AD＝CQ·CB．

其中正确的是________(写出所有正确结论的序号)．

Answer 1

答案：②③④
解析：

解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误； 　　连接BD，如图所示： 　　∵GD为圆O的切线， 　　∴∠GDP＝∠ABD， 　　又AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°， 　　∵CE⊥AB，∴∠AFP＝90°， 　　∴∠ADB＝∠AFP，又∠PAF＝∠BAD， 　　∴△APF∽△ABD， 　　∴∠ABD＝∠APF，又∠APF＝∠GPD， 　　∴∠GDP＝∠GPD， 　　∴GP＝GD，选项②正确； 　　∵直径AB⊥CE， 　　∴A为的中点，即＝， 　　又C为的中点，∴＝， 　　∴＝， 　　∴∠CAP＝∠ACP， 　　∴AP＝CP， 　　又AB为圆O的直径，∴∠ACQ＝90°， 　　∴∠PCQ＝∠PQC， 　　∴PC＝PQ， 　　∴AP＝PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点， 　　∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确； 　　连接CD，如图所示： 　　∵＝， 　　∴∠B＝∠CAD，又∠ACQ＝∠BCA， 　　∴△ACQ∽△BCA， 　　∴＝，即AC2＝CQ·CB， 　　∵＝， 　　∴∠ACP＝∠ADC，又∠CAP＝∠DAC， 　　∴△ACP∽△ADC， 　　∴＝，即AC2＝AP·AD， 　　∴AP·AD＝CQ·CB，选项④正确， 　　则正确的选项序号有②③④．

提示：

切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．