Question

如图(1)⊙O₁和⊙O₂内切于点P，C是⊙O₁上任一点(与点P不重合)实验操作：将直角三角板的直角顶点放在点C上，一条直角边经过点O₁，另一条直角边所在直线交⊙O₂于点A、B，直线PA、PB分别交⊙O₁于点E，F，连接CE(图(2)是实验操作备用图)

探究：(1)你发现，有什么关系？用你学过的数学知识证明你的发现；

(2)你发现线段CE，PE，BF有怎样的比例关系？证明你的发现．

(3)如图(3)若将上述问题⊙O₁和⊙O₂由内切变为外切，其他条件不变，请你探索线段CE、PE、BF有怎样的比例关系，并证明．

Answer 1

答案：
解析：

解答：实验操作，分类探索． 　　(1)CE＝CF．证明：如图(1)，过P作两圆的公切线MN，连接EF，∵MN为两圆的外公切线，∴∠NPB＝∠PEF＝∠A，∴EF∥AB． 　　又∵O1C⊥AB，∴O1C⊥EF．又O1C为⊙O1的半径，∴＝． 　　(2)结论CE2=BF·PE． 　　证明：如图(2)连接CF，∵AB切⊙O1于C， 　　∴∠BCF＝∠CPB， 　　∵∠CPB＝∠CPE，∴∠BCF＝∠CPE，又∵⊙O1是四边形ECFP的外接圆， 　　∴∠CFB＝∠CEP，∴△BCF∽△CPE，∴＝，又＝，∴CE＝CF，∴＝，∴CE2＝BF·PE． 　　(3)结论CE2＝PE·BF． 　　证明：如图(3)所示，过点P作两圆的公切线MN，连接CF、EF、PC，∵O1C⊥BC，O1C为⊙O1的半径， 　　∴BC切⊙O1于C． 　　又∵MN是两圆内公切线， 　　∴∠MPE＝∠EFP，∠NPA＝∠B，∴∠MPE＝ 　　∠NPA，∴∠EFP＝∠B，∴EF∥BC，∴O1C⊥EF，∴CE＝CF，∴CE＝CF，而∠B＝∠EFP，∠EFP＝∠ECP， 　　∴∠B＝∠ECP，又∠PEC＝∠PFC，∴△EPC∽△FCB， 　　∴＝，∴＝，CE2＝PE·BF．

提示：

名师导引：(1)作两圆公切线MN，＝，(2)证明△BCF∽△CPE；(3)连EF、CP，过P作公切线，证明△EPC∽△FCB．