Question

如图，抛物线y= x²+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．
（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．

Answer 1

解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x²+bx+c中，
得 ，
解得 
∴该抛物线的解析式为y=x²+x﹣4．
（2）令y=0，即x²+x﹣4=0，解得x₁=﹣4，x₂=2，
∴A（﹣4，0），S_△ABC= AB?OC=12．设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x．
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，
∴△PBE∽△ABC，
∴ ，即 ，
化简得：S_△PBE= （2﹣x）²．
S_△PCE=S_△PCB﹣S_△PBE= PB?OC﹣S_△PBE= ×（2﹣x）×4﹣ （2﹣x）² =- x²﹣ x+  = -（x+1）²+3
∴当x=﹣1时，S_△PCE的最大值为3．
（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：
（I）当DM=DO时，如答图①所示． DO=DM=DA=2，
∴∠OAC=∠AMD=45°，
∴∠ADM=90°，
∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；  

（II）当MD=MO时，如答图②所示．
过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，
∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，
又△AMN为等腰直角三角形，
∴MN=AN=3，
∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；
（III）当OD=OM时，
∵△OAC为等腰直角三角形，
∴点O到AC的距离为×4= ，
即AC上的点与点O之间的最小距离为 ．
∵ ＞2，
∴OD=OM的情况不存在．综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．