Question

如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC=1，BC=2。

（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y，请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切，设⊙P的面积为s，你认为能否确定s的最大值？若能，请你求出s的最大值；若不能，请你说明不能确定s的最大值的理由。

Answer 1

解：（1）“略”； （2）①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质， 动点P是∠ABC的平分线BM上的点。 如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1（不为∠ABC的顶点）， ∵OX=BOsin∠ABM，P1Z=BP1sin∠ABM， 当BP1＞BO时，P1Z＞OX，即P与B的距离越大，⊙P的面积越大， 这时，BM与AC的交点P是符合题意的，BP长度最大的点； 如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上， ∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与边CB相切于C，与边AB相切于E， 即这时的⊙P是符合题意的圆， 这时⊙P的面积就是S的最大值， ∵∠A=∠A，∠BCA=∠AEP=90°， ∴ Rt△ABC∽Rt△APE， ∴， ∵AC=1，BC=2， ∴AB=， 设PC=x，则PA=AC-PC=1-x，PC=PE， ∴，∴x=； ②如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC=y， 则，∴y=； ③如图4，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，设PF=z， 则，∴z=， 由①，②，③可知：∵＞2， ∴+2＞+1＞3， ∵当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大， ∴2， ∴ z＞y＞x， ∴⊙P的面积S的最大值为。