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    如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP。已知动点运动了秒。

    【小题1】请直接写出PN的长           ；（用含的代数式表示）
    【小题2】若0秒≤≤3秒，试求△MPA的面积S与时间秒的函数关系式，并求S的最大值。
    【小题3】若0秒≤≤3秒，△MPA能否与△PCN相似？若能，试求出相似时的对应值；若不能，试说明理由。

    【小题1】；
    【小题2】延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由⑴得：PN＝，
    则。
    依题意，可得：
    ∵0≤≤1.5
    ∴当时，S有最大值，S最大值＝。…………………4分
    【小题3】能相似
    共有两种情况，以下分类说明：
    ①  …………………2分
    ②3或…………………2分
    综上所述，当，或，或时，△MPA与△NPA相似解析:
    （1）可在直角三角形CPN中，根据CN的长和∠CPN的正切值求出．
    （2）三角形MPA中，底边AM的长为3-x，关键是求出MA边上的高，可延长NP交AD于Q，那么PQ就是三角形AMP的高，可现在直角三角形CNP中求出PN的长，进而根据AB的长，表示出PQ的长，根据三角形的面积公式即可得出S与x的函数关系式．根据函数的性质可得出S的最大值．
    （3）本题要分三种情况：
    ①MP=PA，那么AQ=BN=AM，可用x分别表示出BN和AM的长，然后根据上述等量关系可求得x的值．
    ②MA=MP，在直角三角形MQP中，MQ=MA-BN，PQ=AB-PN根据勾股定理即可求出x的值．
    ③MA=PA，不难得出AP=BN，然后用x表示出AM的长，即可求出x的值．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直平分于点O，设AC=2a，BD=2b，请推导这个四边形的性质．（至少3条）
    （提示：平面图形的性质通常从它的边、内角、对角线、周长、面积等入手．）

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    如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
    （1）求证：PA=PC．
    （2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四边形ABCD的面积．

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    精英家教网如图，四边形ABCD，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求∠ADC的度数．

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    如图，四边形ABCD为正方形，E是BC的延长线上的一点，且AC=CE，求∠DAE的度数．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．

    （I）求证：AE=EF；
    （Ⅱ）若将条件中的“点E是BC的中点”改为“E是BC上任意一点”，其余条件不变，则结论AE=EF还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

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