Question

如图，在⊿ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于点E，F在DE上，并且AF＝CE．

(1)求证：四边形ACEF是平行四边形．

(2)当∠B的大小满足什么条件时四边形ACEF是菱形？请证明你的结论．

(3)四边形ACEF有可能是矩形吗？为什么？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵ED是BC的垂直平分线，∴EB＝EC． 　　∴∠3＝∠4．∵∠ACB＝90°，∴∠2与∠4互余，∠1与∠3互余．∴∠1＝∠2．∴AE＝CE． 　　又∵AF＝CE，∴⊿ACE和⊿EFA都是等腰三角形．∵FD⊥BC，AC⊥BC，∴AC∥FE．∴∠1＝∠5． 　　∴∠AEC＝∠EAF，∴AF∥CE．∴四边形ACEF是平行四边形． 　　(2)当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下： 　　∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠1＝∠2＝60°∴∠AEC＝60°∴AC＝EC．∴平行四边形ACEF是菱形． 　　(3)四边ACE不可能是是矩形．理由如下：由(1)可知，∠2与∠3互余．∠3≠0°，∴∠2≠90° 　　∴四边形ACEF不可能是矩形．