Question

求证：锐角三角形的垂心H必为其垂足三角形的内心．

Answer 1

分析：首先根据题意设计出图形及用几何语言来表达题意：已知△ABC中，H为垂心，AD、BE、CF是高，EF交AD于G，求证：垂足H为△DEF的内心．首先证明四边形AEHF、四边形CDHE是圆内接四边形，从而根据圆周角定理、在Rt△ABD与Rt△BCF中，有公共∠B，推出∠HEF=∠HED，得出EH平分∠DEF．同理可到到DH、FH分别平分∠EDF、∠EFD．根据三角形内切圆性质定理，得到证明．

解答：证明：∵HF⊥AF、HE⊥AE，
∴四边形AEHF是圆内接四边形，
同理，四边形CDHE也是圆内接四边形，
∴∠HEF=∠HAF、∠DEH=∠DCH，
∵∠HAF=90°-∠ABC=∠DCH，
∴∠HEF=∠HED，
即：EH平分∠DEF，
同理可得：DH、FH分别平分∠EDF、∠EFD，
∴锐角三角形的垂心H必为其垂足三角形的内心．

点评：本题考查内切圆与内心、圆周角定理．解决本题的关键是证明四边形AEHF、四边形CDHE分别是圆内接四边形，利用圆周角定理从而建立起角相等的关系．