Question

已知点A(－1，1)在抛物线y＝(k2－1)x2－2(k－2)x＋1的图象上，求 (1) 抛物线的对称轴及顶点坐标． (2) 若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只有一个公共点B的直线，若存在，求出符合条件的直线，若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	∵点A(－1，1)在抛物线 　　y＝(k2－1)x2－2(k－2)x＋1上 　　∴ 　　解得k＝－3 　　∴抛物线的解析式为y＝8x2＋10x＋1 　　对称轴为直线x＝－顶点坐标为(－，－)
(2)	∵点B与点A(－1，－1)关于直线x＝－对称 　　∴点B的坐标为(－，－1) 　　设过B的直线为y＝mx＋n．则－1＝－m＋n． 　　即m－kn＝4 　　又∵直线y＝mx＋n与抛物线y＝8x2＋10x＋1只有一个公共点B． 　　∴方程组只有一个解 　　代入整理得8x2＋(10－m)x＋1－n＝0 　　∴Δ＝0即(10－m)2－32(1－n)＝0 　　∴m＝0　　n＝ 　　∴y＝6x＋ 　　又因为当直线经过点B(－，－1)且与y轴平行时，直线与抛物线也只有一个交点． 　　∴直线x＝－也符合条件． 　　∴符合条件的直线有两条：y＝6x＋或x＝－ 　　解析：本例考查抛物线的顶点坐标及对称轴及抛物线与直线的位置关系．