Question

已知：如图，直线y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P。
（1）求点P的坐标；
（2）请判断△OPA的形状并说明理由；
（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O、P、A的路线向点A匀速运动（E不与点O，A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S。
求：①S与t之间的函数关系式；
②当t为何值时，S最大，并求出S的最大值。

Answer 1

解：（1）由题意可得：， 解得， 所以点P的坐标为（2，）； （2）将y=0代入y=﹣x+4，﹣x+4=0， ∴x=4，即OA=4，作PD⊥OA于D，则OD=2，PD=2， ∵tan∠POA==， ∴∠POA=60°， ∵OP=， ∴△POA是等边三角形； （3）①当0＜t≤4时，如图，在Rt△EOF中， ∵∠EOF=60°，OE=t， ∴EF=，OF=t， ∴S=， 当4＜t＜8时，如图，设EB与OP相交于点C， ∵CE=PE=t﹣4，AE=8﹣t， ∴AF=4﹣，EF=（8﹣t）， ∴OF=OA﹣AF=4﹣（4﹣）=， ∴S=（CE+OF）EF=（t﹣4+t）×（8﹣t）， =﹣t2+4t﹣8； ②当0＜t?4时，S=，t=4时，S最大=2； 当4＜t＜8时，S=﹣t2+4t﹣8=﹣（t﹣）2+， t=时，S最大=， ∵＞2， ∴当t=时，S最大，最大值为．