Question

10．已知：如图，直线y=-x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（-1，0）．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．
（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．
（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出DF的最大值，判断出△DEF为等腰直角三角形，最后求出周长最大值；
（3）先作出如图所示的辅助线，再得出$\frac{DF}{DP}=\frac{DB}{DF}$，从而求出PM，DM即可．

解答 解：（1）直线y=-x+2与x轴交于B（2，0），与y轴交于C点（0，2），
设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
把A（-1，0）、B（2，0）、C（0，2）的坐标代入，
∴a=-1，b=1，c=2，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+x+2，
（2）设D（x，-x²+x+2），F（x，-x+2），
∴DF=（-x²+x+2）-（-x+2）=-x²+2x，
所以x=1时，DF_最大=1，
∵OB=OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∵DE⊥BC，DF∥y轴，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴△DEF周长的最大值为1+$\sqrt{2}$
（3）如图，

当△DEF周长最大时，D（1，2），F（1，1）．延长DF交x轴于H，作PM⊥DF于M，
则DB=$\sqrt{5}$，DH=2，OH=1
当∠DFP=∠DBC时，△DFP∽△DBF，
∴$\frac{DF}{DP}=\frac{DB}{DF}$，
∴DP=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{PM}{BH}=\frac{DM}{DH}=\frac{DP}{DB}$=$\frac{1}{5}$，
∴PM=$\frac{1}{5}$，DM=$\frac{2}{5}$，
∴P点的横坐标为OH+PM=1+$\frac{1}{5}$=$\frac{6}{5}$，
P点的纵坐标为DH-DM=2-$\frac{2}{5}$=$\frac{8}{5}$，
∴P（$\frac{6}{5}$，$\frac{8}{5}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，三角形的相似的性质和判定，等腰直角三角形的性质，极值的确定，解本题的关键是极值的确定，也是难点．